卡爾·弗里德里?！じ咚躬?dú)立發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理的一般形式、數(shù)論上的“二次互反律”(Law of Quadratic Reciprocity)、“質(zhì)數(shù)分布定理”(prime numer theorem)、及“算術(shù)幾何平均”(arithmetic-geometric mean)。 貢獻(xiàn)18歲的高斯發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理和最小二乘法。通過(guò)對(duì)足夠多的測(cè)量數(shù)據(jù)的處理后，可以得到一個(gè)新的、概率性質(zhì)的測(cè)量結(jié)果。在這些基礎(chǔ)之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計(jì)算，并成功得到高斯鐘形曲線(正態(tài)分布曲線)。其函數(shù)被命名為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（或高斯分布），并在概率計(jì)算中大量使用。在高斯19歲時(shí)，僅用尺規(guī)便構(gòu)造出了17邊形。并為流傳了2000年的歐氏幾何提供了自古希臘時(shí)代以來(lái)的第一次重要補(bǔ)充。高斯總結(jié)了復(fù)數(shù)的應(yīng)用，并且嚴(yán)格證明了每一個(gè)n階的代數(shù)方程必有n個(gè)實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)解。在他的第一本著名的著作《算術(shù)研究》中，作出了二次互反律的證明，成為數(shù)論繼續(xù)發(fā)展的重要基礎(chǔ)。在這部著作的第一章，導(dǎo)出了三角形全等定理的概念。高斯在最小二乘法基礎(chǔ)上創(chuàng)立的測(cè)量平差理論的幫助下，測(cè)算天體的運(yùn)行軌跡。他用這種方法，測(cè)算出了小行星谷神星的運(yùn)行軌跡。谷神星于1801年被意大利天文學(xué)家皮亞齊發(fā)現(xiàn)，但因病他耽誤了觀測(cè)，從而失去了這顆小行星的軌跡。皮亞齊以希臘神話中的“豐收女神”(Ceres)對(duì)它命名，稱為谷神星(Planetoiden Ceres)，并將自己以前觀測(cè)的數(shù)據(jù)發(fā)表出來(lái)，希望全球的天文學(xué)家一起尋找。高斯通過(guò)以前3次的觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算出了谷神星的運(yùn)行軌跡。奧地利天文學(xué)家 Heinrich Olbers根據(jù)高斯計(jì)算出的軌道成功地發(fā)現(xiàn)了谷神星。高斯將這種方法發(fā)表在其著作《天體運(yùn)動(dòng)論》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium)中。為了獲知每年復(fù)活節(jié)的日期，高斯推導(dǎo)了復(fù)活節(jié)日期的計(jì)算公式。1818年至1826年間，高斯主導(dǎo)了漢諾威公國(guó)的大地測(cè)量工作。通過(guò)最小二乘法為基礎(chǔ)的測(cè)量平差的方法和求解線性方程組的方法，顯著地提高了測(cè)量的精度。高斯親自參加野外測(cè)量工作。他白天觀測(cè)，夜晚計(jì)算。在五六年間，經(jīng)他親自計(jì)算過(guò)的大地測(cè)量數(shù)據(jù)超過(guò)100萬(wàn)個(gè)。當(dāng)高斯領(lǐng)導(dǎo)的三角測(cè)量外場(chǎng)觀測(cè)走上正軌后，高斯把主要精力轉(zhuǎn)移到處理觀測(cè)成果的計(jì)算上，寫出了近20篇對(duì)現(xiàn)代大地測(cè)量學(xué)具有重大意義的論文。在這些論文中，他推導(dǎo)了由橢圓面向圓球面投影時(shí)的公式，并作出了詳細(xì)證明。這個(gè)理論直至現(xiàn)在仍有應(yīng)用的價(jià)值。漢諾威公國(guó)的大地測(cè)量工作至1848年結(jié)束。這項(xiàng)大地測(cè)量史上的巨大工程，如果沒(méi)有高斯在理論上的仔細(xì)推敲，在觀測(cè)上力圖合理和精確，在數(shù)據(jù)處理上盡量周密和細(xì)致，就不能圓滿的完成。在當(dāng)時(shí)的不發(fā)達(dá)的條件下，布設(shè)了大規(guī)模的大地控制網(wǎng)，精確地確定2578個(gè)三角點(diǎn)的大地坐標(biāo)。為了用橢圓在球面上的正形投影理論以解決大地測(cè)量中出現(xiàn)的問(wèn)題，在這段時(shí)間內(nèi)高斯亦從事了曲面和投影的理論，并成為了微分幾何的重要理論基礎(chǔ)。他獨(dú)立地提出了不能證明歐氏幾何的平行公設(shè)具有‘物理的’必然性，至少不能用人類的理智給出這種證明。[來(lái)源請(qǐng)求]但他的非歐幾何理論并未發(fā)表。也許他是出于對(duì)同時(shí)代的人不能理解這種超常理論的擔(dān)憂。相對(duì)論證明了宇宙空間實(shí)際上是非歐幾何的空間。高斯的思想被近100年后的物理學(xué)接受了。高斯試圖在漢諾威公國(guó)的大地測(cè)量中通過(guò)測(cè)量Harz的Brocken——Thuringer Wald的Inselsberg——哥廷根的Hohen Hagen三個(gè)山頭所構(gòu)成的三角形的內(nèi)角和，以驗(yàn)證非歐幾何的正確性，但未成功。高斯的朋友鮑耶的兒子雅諾斯在1823年證明了非歐幾何的存在。高斯對(duì)他勇于探索的精神表示了贊揚(yáng)。1840年，羅巴切夫斯基用德文寫了《平行線理論的幾何研究》一文。這篇論文的發(fā)表引起了高斯的注意。他非常重視這一論證，積極建議哥廷根大學(xué)聘請(qǐng)羅巴切夫斯基為通信院士。為了能直接閱讀他的著作，從這一年開(kāi)始，63歲的高斯開(kāi)始學(xué)習(xí)俄語(yǔ)，并最終掌握了這門外語(yǔ)。高斯最終成為微分幾何的始祖（高斯、雅諾斯和羅巴切夫斯基）之一。出于對(duì)實(shí)際應(yīng)用的興趣，高斯發(fā)明了日光反射儀。日光反射儀可以將光束反射至大約450公里外的地方。高斯后來(lái)不止一次地為原先的設(shè)計(jì)作出改進(jìn)，試制成功了后來(lái)被廣泛應(yīng)用于大地測(cè)量的鏡式六分儀。19世紀(jì)30年代，高斯發(fā)明了磁強(qiáng)計(jì)。他辭去了天文臺(tái)的工作，而轉(zhuǎn)向物理的研究。他與韋伯(1804－1891)在電磁學(xué)領(lǐng)域共同工作。他比韋伯年長(zhǎng)27歲，以亦師亦友的身份與其合作。1833年，通過(guò)受電磁影響的羅盤指針，他向韋伯發(fā)送出電報(bào)。這不僅是從韋伯的實(shí)驗(yàn)室與天文臺(tái)之間的第一個(gè)電話電報(bào)系統(tǒng)，也是世界首創(chuàng)的第一個(gè)電話電報(bào)系統(tǒng)。盡管線路才8千米長(zhǎng)。1840年，他和韋伯畫出了世界第一張地球磁場(chǎng)圖，并且定出了地球磁南極和磁北極的位置。次年，這些位置得到美國(guó)科學(xué)家的證實(shí)。高斯在數(shù)個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行研究，但只把他認(rèn)為已經(jīng)成熟的理論發(fā)表出來(lái)。他經(jīng)常對(duì)他的同事表示，該同事的結(jié)論已經(jīng)被自己以前證明過(guò)了，只是因?yàn)榛A(chǔ)理論的不完備而沒(méi)有發(fā)表。批評(píng)者說(shuō)他這樣做是因?yàn)橄矚g搶出風(fēng)頭。事實(shí)上高斯把他的研究結(jié)果都記錄起來(lái)了。他死后，他的20部紀(jì)錄著他的研究結(jié)果和想法的筆記被發(fā)現(xiàn)，證明高斯所說(shuō)的是事實(shí)。一般人認(rèn)為，20部筆記并非高斯筆記的全部。下薩克森州和哥廷根大學(xué)圖書館已經(jīng)將高斯的全部著作數(shù)位化，并放置于互聯(lián)網(wǎng)上。高斯的肖像曾被印刷在從1989年至2001年流通的10元德國(guó)馬克紙幣上。