∫cscx dx =∫1/sinx dx =∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx,兩倍角公式 =∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2) =∫1/tan(x/2)*sec2(x/2) d(x/2) =∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)],注∫sec2(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C =ln|tan(x/2)|+C,這是答案一 進一步化簡: =ln|sin(x/2)/cos(x/2)|+C =ln|2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos2(x/2)]|+C,湊出兩倍角公式 =ln|sinx/(1+cosx)|+C =ln|sinx(1-cosx)/sin2x|+C =ln|(1-cosx)/sinx|+C =ln|cscx-cotx|+C,這是答案二在 微積分中，一個函數(shù) f 的 不定積分，或原函數(shù)，或反導數(shù)，是一個 導數(shù)等于 f 的 函數(shù) F ，即 F ′ = f。

不定積分和定積分間的關系由微積分基本定理確定。其中 F是 f的不定積分。根據(jù) 牛頓-萊布尼茨公式，許多函數(shù)的定積分的計算就可以簡便地通過求不定積分來進行。這里要注意不定積分與定積分之間的關系：定積分是一個數(shù)，而不定積分是一個表達式，它們僅僅是數(shù)學上有一個計算關系，其它一點關系都沒有！一個函數(shù)，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒有不定積分。連續(xù)函數(shù)，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函數(shù)一定不存在，即不定積分一定不存在。