數(shù)學(xué)家們一度花了很大精力都無(wú)任何結(jié)果，以至于1930年蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家魯金猜想，不可能把一個(gè)正方形分割成有限個(gè)大小不同的正方形。

莫倫對(duì)此猜想提出了挑戰(zhàn)，并提供了一個(gè)解決思路：如果同一個(gè)矩形有兩個(gè)不同的正方形剖分，且其中一個(gè)剖分的每個(gè)正方形都不同于另一個(gè)剖分的每個(gè)正方形，那么，這兩個(gè)剖分再添上兩個(gè)正方形（它異于兩個(gè)剖分中的任何一個(gè)正方形），便可構(gòu)造出一個(gè)完美正方形。而在此之前，完美矩形已經(jīng)有了比較豐富的成果。1939年，斯普拉格按照莫倫的構(gòu)想成功地構(gòu)造出一個(gè)55階的完美正方形，其邊長(zhǎng)為4205。幾個(gè)月后，階數(shù)更?。?8階）、邊長(zhǎng)更短(1015)的完美正方形由劍橋大學(xué)三一學(xué)院的四位大學(xué)生構(gòu)造出來(lái)。1948年，威爾科克斯構(gòu)造出24階完美正方形，但其中含有一個(gè)完美矩形（此類正方形被稱為混完美正方形。完全由正方形構(gòu)造成的正方形稱為純完美正方形）。一直到1978年，這個(gè)紀(jì)錄才被打破。1967年，威爾森構(gòu)造成功25階、26階完美正方形。1962年，荷蘭特溫特技術(shù)大學(xué)的杜伊維斯廷證明：不存在20階以下的完美正方形。1978年，杜伊維斯廷借助計(jì)算機(jī)技術(shù)，成功地構(gòu)造出一個(gè)21階的完美正方形，它是唯一的，且它不僅階數(shù)最低，同時(shí)數(shù)字也更簡(jiǎn)單，此外構(gòu)造上它也有許多優(yōu)美的特點(diǎn)，比如2的某些次冪恰好位于一條對(duì)角線上，等等。杜伊維斯廷同時(shí)還證明了：低于21階的完美正方形不存在。1982年，杜伊維斯廷又證明了：不存在低于24階的混完美正方形。1992年，布卡姆和杜伊維斯廷給出了21~25階全部207個(gè)純完美正方形：階數(shù)21 22 23 24 25個(gè)數(shù)1 8 12 26 160至此，完美正方形的討論暫時(shí)畫(huà)上一個(gè)句號(hào)。但數(shù)學(xué)家的研究并沒(méi)有停止，他們又研究了不同大小正方形是否可以填充整個(gè)平面的問(wèn)題，此外他們還將完美剖分的問(wèn)題推廣到莫比烏斯帶、圓柱面、環(huán)面和克萊茵瓶上，也取得了許多有趣的成果。但是立方體填充被證明是沒(méi)有的。