函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。

方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現(xiàn)的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時需要重點考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f (x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。函數(shù)知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析；含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。 中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。 ”數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)學(xué)中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。數(shù)學(xué)思想在人類文明中的作用1、數(shù)學(xué)與自然科學(xué)：在天文學(xué)領(lǐng)域里，在第谷·布拉埃觀察的基礎(chǔ)上，開普勒提出了天體運動三定律： （a）行星在橢圓軌道上繞太陽運動，太陽在此橢圓的一個焦點上。（b）從太陽到行星的向徑在相等的時間內(nèi)掃過的面積是F(如圖)。（c）行星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期的平方與橢圓軌道C的半長軸的立方成正比。開普勒是世界上第一個用數(shù)學(xué)公式描述天體運動的人，他使天文學(xué)從古希臘的靜態(tài)幾何學(xué)轉(zhuǎn)化為動力學(xué)。這一定律出色地證明了畢達哥拉斯主義核心的數(shù)學(xué)原理。的確是，現(xiàn)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了理解現(xiàn)象的鑰匙。愛因斯坦的相對論是物理學(xué)中，乃至整個宇宙的一次偉大革命。其核心內(nèi)容是時空觀的改變。牛頓力學(xué)的時空觀認為時間與空間不相干。愛因斯坦的時空觀卻認為時間和空間是相互聯(lián)系的。促使愛因斯坦做出這一偉大貢獻的仍是數(shù)學(xué)的思維方式。愛因斯坦的空間概念是相對論誕生50年前德國數(shù)學(xué)家黎曼為他準(zhǔn)備好的概念。在生物學(xué)中，數(shù)學(xué)使生物學(xué)從經(jīng)驗科學(xué)上升為理論科學(xué)，由定性科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)槎靠茖W(xué)。它們的結(jié)合與相互促進已經(jīng)產(chǎn)生并將繼續(xù)產(chǎn)生許多奇妙的結(jié)果。生物學(xué)的問題促成了數(shù)學(xué)的一大分支——生物數(shù)學(xué)的誕生與發(fā)展，到今天生物數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一門完整的學(xué)科。它對生物學(xué)的新應(yīng)用有以下三個方面：生命科學(xué)、生理學(xué)、腦科學(xué)。

2、數(shù)學(xué)與社會科學(xué)如果說在自然科學(xué)中，更多的是運用數(shù)學(xué)的計算公式及計算能力；那么在社會科學(xué)的領(lǐng)域中，就更能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想的作用。要借助數(shù)學(xué)的思想，首先，必須發(fā)明一些基本公理，然后通過嚴密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明，從這些公理中得出人類行為的定理。而公理又是如何產(chǎn)生的呢？借助經(jīng)驗和思考。而在社會學(xué)的領(lǐng)域中，公理自身應(yīng)該有足夠的證據(jù)說明他們合乎人性，這樣人們才會接受。說到社會科學(xué)，就不免提一下數(shù)學(xué)在政治領(lǐng)域中的作用。休謨曾說：“政治可以轉(zhuǎn)化為一門科學(xué)”。而在政治學(xué)公理中，洛克的社會契約論具有非常重要的意義，它不僅僅是文藝復(fù)興時期的代表，也推動了整個社會的進步。西方的資產(chǎn)階級的文明比起封建社會的文明是進步了許多，但它必將被社會主義、共產(chǎn)主義文明所取代。***人提出的“解放全人類”——為人民謀幸福、“為人民服務(wù)”和“三個代表”應(yīng)當(dāng)也必將成為政府的基本公理。在政治中不能不提的便是民主，而民主最為直接的表現(xiàn)形式就是選舉。而數(shù)學(xué)在選票分配問題上發(fā)揮著重要作用。選票分配首先就是要公平，而如何才能做到公平呢？1952年數(shù)學(xué)家阿羅證明了一個令人吃驚的定理——阿羅不可能定理，即不可能找到一個公平合理的選舉系統(tǒng)。這就是說，只有相對合理，沒有絕對合理。原來世上本無“公平”！阿羅不可能定理是數(shù)學(xué)應(yīng)用于社會科學(xué)的一個里程碑。在經(jīng)濟學(xué)中，數(shù)學(xué)的廣泛而深入的應(yīng)用是當(dāng)前經(jīng)濟學(xué)最為深刻的變革之一。現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展對其自身的邏輯和嚴密性提出了更高的要求，這就使得經(jīng)濟學(xué)與數(shù)學(xué)的結(jié)合成為必然。首先，嚴密的數(shù)學(xué)方法可以保證經(jīng)濟學(xué)中推理的可靠性，提高討論問題的效率。其次，具有客觀性與嚴密性的數(shù)學(xué)方法可以抵制經(jīng)濟學(xué)研究中先入為主的偏見。第三，經(jīng)濟學(xué)中的數(shù)據(jù)分析需要數(shù)學(xué)工具，數(shù)學(xué)方法可以解決經(jīng)濟生活中的定量分析。在人口學(xué)、倫理學(xué)、哲學(xué)等其他社會科學(xué)中也滲透著數(shù)學(xué)思想 等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。 轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對結(jié)論進行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應(yīng)用時一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉(zhuǎn)化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。等價轉(zhuǎn)化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去進行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進行等價轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯；它可以在符號系統(tǒng)內(nèi)部實施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進行等價轉(zhuǎn)化?？梢哉f，等價轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。在數(shù)學(xué)操作中實施等價轉(zhuǎn)化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過程省時省力，有如順?biāo)浦?，?jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。 在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：

① 問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a=0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。

② 問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。

③ 解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a=0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。