簡介黎曼函數(shù)是一個特殊函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中被廣泛應(yīng)用，在很多情況下可以作為反例來驗證某些函數(shù)方面的待證命題。

此函數(shù)在微積分中有著重要應(yīng)用。 定義R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)內(nèi)的無理數(shù)；R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q為既約真分?jǐn)?shù)），即x為(0,1)內(nèi)的有理數(shù)。 性質(zhì)定理：黎曼函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的極限處處為0。證明：對任意x0∈(0,1)，任給正數(shù)ε，考慮除x0以外所有黎曼函數(shù)的函數(shù)值大于等于ε的點，因為黎曼函數(shù)的正數(shù)值都是1/q的形式（q∈N+），且對每個q，函數(shù)值等于1/q的點都是有限的，所以除x0以外所有函數(shù)值大于等于ε的點也是有限的。設(shè)這些點，連同0、1，與x0的最小距離為δ，則x0的半徑為δ的去心鄰域中所有點函數(shù)值均在[0,ε)中，從而黎曼函數(shù)在x->x0時的極限為0。推論：黎曼函數(shù)在(0,1)內(nèi)的無理點處處連續(xù)，有理點處處不連續(xù)。推論：黎曼函數(shù)在區(qū)間[0,1]上是黎曼可積的。（實際上，黎曼函數(shù)在[0,1]上的積分為0。）證明：函數(shù)可積性的勒貝格判據(jù)指出，一個有界函數(shù)是黎曼可積的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有不連續(xù)點組成的集合測度為0。黎曼函數(shù)的不連續(xù)點集合即為有理數(shù)集，是可數(shù)的，故其測度為0，所以由勒貝格判據(jù)，它是黎曼可積的。變體 R(x)=0，如果x為任意無理數(shù)；R(x)=1/q，如果x=p/q（p∈Z，q∈Z+，(p,q)=1），即x為任意非零有理數(shù)；R(x)=1，如果x=0。這樣定義的黎曼函數(shù)R上的所有無理點處處連續(xù)，有理點處處不連續(xù)。