圓周率π的計(jì)算歷程韓雪濤圓周率是一個極其馳名的數(shù)。從有文字記載的歷史開始，這個數(shù)就引進(jìn)了外行人和學(xué)者們的興趣。作為一個非常重要的常數(shù)，圓周率最早是出于解決有關(guān)圓的計(jì)算問題。僅憑這一點(diǎn)，求出它的盡量準(zhǔn)確的近似值，就是一個極其迫切的問題了。事實(shí)也是如此，幾千年來作為數(shù)學(xué)家們的奮斗目標(biāo)，古今中外一代一代的數(shù)學(xué)家為此獻(xiàn)出了自己的智慧和勞動?；仡櫄v史，人類對 π 的認(rèn)識過程，反映了數(shù)學(xué)和計(jì)算技術(shù)發(fā)展情形的一個側(cè)面。 π 的研究，在一定程度上反映這個地區(qū)或時代的數(shù)學(xué)水平。德國數(shù)學(xué)史家康托說：“歷史上一個國家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度，可以作為衡量這個國家當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo)?！敝钡?9世紀(jì)初，求圓周率的值應(yīng)該說是數(shù)學(xué)中的頭號難題。為求得圓周率的值，人類走過了漫長而曲折的道路，它的歷史是饒有趣味的。我們可以將這一計(jì)算歷程分為幾個階段。實(shí)驗(yàn)時期通過實(shí)驗(yàn)對 π 值進(jìn)行估算，這是計(jì)算 π 的的第一階段。這種對 π 值的估算基本上都是以觀察或?qū)嶒?yàn)為根據(jù)，是基于對一個圓的周長和直徑的實(shí)際測量而得出的。在古代世界，實(shí)際上長期使用 π ＝3這個數(shù)值。最早見于文字記載的有基督教《圣經(jīng)》中的章節(jié)，其上取圓周率為3。這一段描述的事大約發(fā)生在公元前950年前后。其他如巴比倫、印度、中國等也長期使用3這個粗略而簡單實(shí)用的數(shù)值。在我國劉徽之前“圓徑一而周三”曾廣泛流傳。我國第一部《周髀算經(jīng)》中，就記載有圓“周三徑一”這一結(jié)論。在我國，木工師傅有兩句從古流傳下來的口訣：叫做：“周三徑一，方五斜七”，意思是說，直徑為1的圓，周長大約是3，邊長為5的正方形，對角線之長約為7。這正反映了早期人們對圓周率 π 和√2 這兩個無理數(shù)的粗略估計(jì)。東漢時期官方還明文規(guī)定圓周率取3為計(jì)算面積的標(biāo)準(zhǔn)。后人稱之為“古率”。早期的人們還使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希臘人曾用谷粒擺在圓形上，以數(shù)粒數(shù)與方形對比的方法取得數(shù)值。或用勻重木板鋸成圓形和方形以秤量對比取值……由此，得到圓周率的稍好些的值。如古埃及人應(yīng)用了約四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。在印度，公元前六世紀(jì)，曾取 π= √10 = 3.162。在我國東、西漢之交，新朝王莽令劉歆制造量的容器――律嘉量斛。劉歆在制造標(biāo)準(zhǔn)容器的過程中就需要用到圓周率的值。為此，他大約也是通過做實(shí)驗(yàn)，得到一些關(guān)于圓周率的并不劃一的近似值。現(xiàn)在根據(jù)銘文推算，其計(jì)算值分別取為3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比徑一周三的古率已有所進(jìn)步。人類的這種探索的結(jié)果，當(dāng)主要估計(jì)圓田面積時，對生產(chǎn)沒有太大影響，但以此來制造器皿或其它計(jì)算就不合適了。幾何法時期憑直觀推測或?qū)嵨锒攘浚瑏碛?jì)算 π 值的實(shí)驗(yàn)方法所得到的結(jié)果是相當(dāng)粗略的。真正使圓周率計(jì)算建立在科學(xué)的基礎(chǔ)上，首先應(yīng)歸功于阿基米德。他是科學(xué)地研究這一常數(shù)的第一個人，是他首先提出了一種能夠借助數(shù)學(xué)過程而不是通過測量的、能夠把 π 的值精確到任意精度的方法。由此，開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的第二階段。圓周長大于內(nèi)接正四邊形而小于外切正四邊形，因此 2√2 ＜ π ＜ 4 。當(dāng)然，這是一個差勁透頂?shù)睦?。?jù)說阿基米德用到了正96邊形才算出他的值域。阿基米德求圓周率的更精確近似值的方法，體現(xiàn)在他的一篇論文《圓的測定》之中。在這一書中，阿基米德第一次創(chuàng)用上、下界來確定 π 的近似值，他用幾何方法證明了“圓周長與圓直徑之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ”，他還提供了誤差的估計(jì)。重要的是，這種方法從理論上而言，能夠求得圓周率的更準(zhǔn)確的值。到公元150年左右，希臘天文學(xué)家托勒密得出 π ＝3.1416，取得了自阿基米德以來的巨大進(jìn)步。割圓術(shù)。不斷地利用勾股定理，來計(jì)算正N邊形的邊長。在我國，首先是由數(shù)學(xué)家劉徽得出較精確的圓周率。公元263年前后，劉徽提出著名的割圓術(shù)，得出 π ＝3.14，通常稱為“徽率”，他指出這是不足近似值。雖然他提出割圓術(shù)的時間比阿基米德晚一些，但其方法確有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術(shù)僅用內(nèi)接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，比阿基米德用內(nèi)接同時又用外切正多邊形簡捷得多。另外，有人認(rèn)為在割圓術(shù)中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法，以致于他將割到192邊形的幾個粗糙的近似值通過簡單的加權(quán)平均，竟然獲得具有4位有效數(shù)字的圓周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而這一結(jié)果，正如劉徽本人指出的，如果通過割圓計(jì)算得出這個結(jié)果，需要割到3072邊形。這種精加工方法的效果是奇妙的。這一神奇的精加工技術(shù)是割圓術(shù)中最為精彩的部分，令人遺憾的是，由于人們對它缺乏理解而被長期埋沒了?？峙麓蠹腋邮煜さ氖亲鏇_之所做出的貢獻(xiàn)吧。對此，《隋書·律歷志》有如下記載：“宋末，南徐州從事祖沖之更開密法。以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”這一記錄指出，祖沖之關(guān)于圓周率的兩大貢獻(xiàn)。其一是求得圓周率3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 其二是，得到 π 的兩個近似分?jǐn)?shù)即：約率為22／7；密率為355／113。他算出的 π 的8位可靠數(shù)字，不但在當(dāng)時是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年。以致于有數(shù)學(xué)史家提議將這一結(jié)果命名為“祖率”。這一結(jié)果是如何獲得的呢？追根溯源，正是基于對劉徽割圓術(shù)的繼承與發(fā)展，祖沖之才能得到這一非凡的成果。因而當(dāng)我們稱頌祖沖之的功績時，不要忘記他的成就的取得是因?yàn)樗驹跀?shù)學(xué)偉人劉徽的肩膀上的緣故。后人曾推算若要單純地通過計(jì)算圓內(nèi)接多邊形邊長的話，得到這一結(jié)果，需要算到圓內(nèi)接正12288邊形，才能得到這樣精確度的值。祖沖之是否還使用了其它的巧妙辦法來簡化計(jì)算呢？這已經(jīng)不得而知，因?yàn)橛涊d其研究成果的著作《綴術(shù)》早已失傳了。這在中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上是一件極令人痛惜的事。中國發(fā)行的祖沖之紀(jì)念郵票祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽(yù)：巴黎“發(fā)現(xiàn)宮”科學(xué)博物館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率，莫斯科大學(xué)禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像，月球上有以祖沖之命名的環(huán)形山……對于祖沖之的關(guān)于圓周率的第二點(diǎn)貢獻(xiàn)，即他選用兩個簡單的分?jǐn)?shù)尤其是用密率來近似地表示 π 這一點(diǎn)，通常人們不會太注意。然而，實(shí)際上，后者在數(shù)學(xué)上有更重要的意義。密率與 π 的近似程度很好，但形式上卻很簡單，并且很優(yōu)美，只用到了數(shù)字1、3、5。數(shù)學(xué)史家梁宗巨教授驗(yàn)證出：分母小于16604的一切分?jǐn)?shù)中，沒有比密率更接近 π 的分?jǐn)?shù)。在國外，祖沖之死后一千多年，西方人才獲得這一結(jié)果。可見，密率的提出是一件很不簡單的事情。人們自然要追究他是采用什么辦法得到這一結(jié)果的呢？他是用什么辦法把圓周率從小數(shù)表示的近似值化為近似分?jǐn)?shù)的呢？這一問題歷來為數(shù)學(xué)史家所關(guān)注。由于文獻(xiàn)的失傳，祖沖之的求法已不為人知。后人對此進(jìn)行了各種猜測。讓我們先看看國外歷史上的工作，希望能夠提供出一些信息。1573年，德國人奧托得出這一結(jié)果。他是用阿基米德成果22／7與托勒密的結(jié)果377／120用類似于加成法“合成”的：(377-22) / (120-7) = 355/113。1585年，荷蘭人安托尼茲用阿基米德的方法先求得：333/106 ＜ π ＜ 377/120，用兩者作為 π 的母近似值，分子、分母各取平均，通過加成法獲得結(jié)果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。兩個雖都得出了祖沖之密率，但使用方法都為偶合，無理由可言。在日本，十七世紀(jì)關(guān)孝和重要著作《括要算法》卷四中求圓周率時創(chuàng)立零約術(shù)，其實(shí)質(zhì)就是用加成法來求近似分?jǐn)?shù)的方法。他以3、4作為母近似值，連續(xù)加成六次得到祖沖之約率，加成一百十二次得到密率。其學(xué)生對這種按部就班的笨辦法作了改進(jìn)，提出從相鄰的不足、過剩近似值就近加成的辦法，（實(shí)際上就是我們前面已經(jīng)提到的加成法）這樣從3、4出發(fā)，六次加成到約率，第七次出現(xiàn)25／8，就近與其緊鄰的22／7加成，得47／15，依次類推，只要加成23次就得到密率。錢宗琮先生在《中國算學(xué)史》（1931年）中提出祖沖之采用了我們前面提到的由何承天首創(chuàng)的“調(diào)日法”或稱加權(quán)加成法。他設(shè)想了祖沖之求密率的過程：以徽率157／50，約率22／7為母近似值，并計(jì)算加成權(quán)數(shù)x=9，于是 (157 + 22×，9) / (50+7×9) = 355/113，一舉得到密率。錢先生說：“沖之在承天后，用其術(shù)以造密率，亦意中事耳?！?另一種推測是：使用連分?jǐn)?shù)法。由于求二自然數(shù)的最大公約數(shù)的更相減損術(shù)遠(yuǎn)在《九章算術(shù)》成書時代已流行，所以借助這一工具求近似分?jǐn)?shù)應(yīng)該是比較自然的。于是有人提出祖沖之可能是在求得盈 二數(shù)之后，再使用這個工具，將3.14159265表示成連分?jǐn)?shù)，得到其漸近分?jǐn)?shù)：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…最后，取精確度很高但分子分母都較小的355／113作為圓周率的近似值。至于上面圓周率漸近分?jǐn)?shù)的具體求法，這里略掉了。你不妨利用我們前面介紹的方法自己求求看。英國李約瑟博士持這一觀點(diǎn)。他在《中國科學(xué)技術(shù)史》卷三第19章幾何編中論祖沖之的密率說：“密率的分?jǐn)?shù)是一個連分?jǐn)?shù)漸近數(shù)，因此是一個非凡的成就。” 我國再回過頭來看一下國外所取得的成果。1150年，印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅第二計(jì)算出 π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亞細(xì)亞地區(qū)的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家卡西著《圓周論》，計(jì)算了3×228＝805,306,368邊內(nèi)接與外切正多邊形的周長，求出 π 值，他的結(jié)果是： π＝3.14159265358979325有十七位準(zhǔn)確數(shù)字。這是國外第一次打破祖沖之的記錄。16世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)利用阿基米德的方法計(jì)算 π 近似值，用 6×216正邊形，推算出精確到9位小數(shù)的 π 值。他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韋達(dá)卻擁有比阿基米德更先進(jìn)的工具：十進(jìn)位置制。17世紀(jì)初，德國人魯?shù)婪蛴昧藥缀跻簧臅r間鉆研這個問題。他也將新的十進(jìn)制與早的阿基米德方法結(jié)合起來，但他不是從正六邊形開始并將其邊數(shù)翻番的，他是從正方形開始的，一直推導(dǎo)出了有262條邊的正多邊形，約4,610,000,000,000,000,000邊形！這樣，算出小數(shù)35位。為了記念他的這一非凡成果，在德國圓周率 π 被稱為“魯?shù)婪驍?shù)”。但是，用幾何方法求其值，計(jì)算量很大，這樣算下去，窮數(shù)學(xué)家一生也改進(jìn)不了多少。到魯?shù)婪蚩梢哉f已經(jīng)登峰造極，古典方法已引導(dǎo)數(shù)學(xué)家們走得很遠(yuǎn)，再向前推進(jìn)，必須在方法上有所突破。17世紀(jì)出現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析，這銳利的工具使得許多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題迎刃而解。 π 的計(jì)算歷史也隨之進(jìn)入了一個新的階段。分析法時期這一時期人們開始擺脫求多邊形周長的繁難計(jì)算，利用無窮級數(shù)或無窮連乘積來算 π 。1593年，韋達(dá)給出這一不尋常的公式是 π 的最早分析表達(dá)式。甚至在今天，這個公式的優(yōu)美也會令我們贊嘆不已。它表明僅僅借助數(shù)字2，通過一系列的加、乘、除和開平方就可算出 π 值。接著有多種表達(dá)式出現(xiàn)。如沃利斯1650年給出：1706年，梅欽建立了一個重要的公式，現(xiàn)以他的名字命名：再利用分析中的級數(shù)展開，他算到小數(shù)后100位。這樣的方法遠(yuǎn)比可憐的魯?shù)婪蛴么蟀肷鷷r間才摳出的35位小數(shù)的方法簡便得多。顯然，級數(shù)方法宣告了古典方法的過時。此后，對于圓周率的計(jì)算像馬拉松式競賽，紀(jì)錄一個接著一個：1844年，達(dá)塞利用公式：算到200位。19世紀(jì)以后，類似的公式不斷涌現(xiàn)， π 的位數(shù)也迅速增長。1873年，謝克斯利用梅欽的一系列方法，級數(shù)公式將 π 算到小數(shù)后707位。為了得到這項(xiàng)空前的紀(jì)錄，他花費(fèi)了二十年的時間。他死后，人們將這凝聚著他畢生心血的數(shù)值，銘刻在他的墓碑上，以頌揚(yáng)他頑強(qiáng)的意志和堅(jiān)韌不拔的毅力。于是在他的墓碑上留下了他一生心血的結(jié)晶： π 的小數(shù)點(diǎn)后707位數(shù)值。這一驚人的結(jié)果成為此后74年的標(biāo)準(zhǔn)。此后半個世紀(jì)，人們對他的計(jì)算結(jié)果深信不疑，或者說即便懷疑也沒有辦法來檢查它是否正確。以致于在1937年巴黎博覽會發(fā)現(xiàn)館的天井里，依然顯赫地刻著他求出的 π 值。又過了若干年，數(shù)學(xué)家弗格森對他的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生了懷疑，其疑問基于如下猜想：在 π 的數(shù)值中，盡管各數(shù)字排列沒有規(guī)律可循，但是各數(shù)碼出現(xiàn)的機(jī)會應(yīng)該相同。當(dāng)他對謝克斯的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時，發(fā)現(xiàn)各數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)過于參差不齊。于是懷疑有誤。他使用了當(dāng)時所能找到的最先進(jìn)的計(jì)算工具，從1944年5月到1945年5月，算了整整一年。1946年，弗格森發(fā)現(xiàn)第528位是錯的（應(yīng)為4，誤為5）。謝克斯的值中足足有一百多位全都報(bào)了銷，這把可憐的謝克斯和他的十五年浪費(fèi)了的光陰全部一筆勾銷了。對此，有人曾嘲笑他說：數(shù)學(xué)史在記錄了諸如阿基米德、費(fèi)馬等人的著作之余，也將會擠出那么一、二行的篇幅來記述1873年前謝克斯曾把 π 計(jì)算到小數(shù)707位這件事。這樣，他也許會覺得自己的生命沒有虛度。如果確實(shí)是這樣的話，他的目的達(dá)到了。人們對這些在地球的各個角落里作出不懈努力的人感到不可理解，這可能是正常的。但是，對此做出的嘲笑卻是過于殘忍了。人的能力是不同的，我們無法要求每個人都成為費(fèi)馬、高斯那樣的人物。但成為不了偉大的數(shù)學(xué)家，并不意味著我們就不能為這個社會做出自己有限的貢獻(xiàn)。人各有其長，作為一個精力充沛的計(jì)算者，謝克斯愿意獻(xiàn)出一生的大部分時光從事這項(xiàng)工作而別無報(bào)酬，并最終為世上的知識寶庫添了一小塊磚加了一個塊瓦。對此我們不應(yīng)為他的不懈努力而感染并從中得到一些啟發(fā)與教育嗎？ 1948年1月弗格森和倫奇兩人共同發(fā)表有808位正確小數(shù)的 π 。這是人工計(jì)算 π 的最高記錄。計(jì)算機(jī)時期1946年，世界第一臺計(jì)算機(jī)ENIAC制造成功，標(biāo)志著人類歷史邁入了電腦時代。電腦的出現(xiàn)導(dǎo)致了計(jì)算方面的根本革命。1949年，ENIAC根據(jù)梅欽公式計(jì)算到2035（一說是2037）位小數(shù)，包括準(zhǔn)備和整理時間在內(nèi)僅用了70小時。計(jì)算機(jī)的發(fā)展一日千里，其記錄也就被頻頻打破。ENIAC：一個時代的開始1973年，有人就把圓周率算到了小數(shù)點(diǎn)后100萬位，并將結(jié)果印成一本二百頁厚的書，可謂世界上最枯燥無味的書了。1989年突破10億大關(guān)，1995年10月超過64億位。1999年9月30日，《文摘報(bào)》報(bào)道，日本東京大學(xué)教授金田康正已求到2061.5843億位的小數(shù)值。如果將這些數(shù)字打印在A4大小的復(fù)印紙上，令每頁印2萬位數(shù)字，那么，這些紙摞起來將高達(dá)五六百米。來自最新的報(bào)道：金田康正利用一臺超級計(jì)算機(jī)，計(jì)算出圓周率小數(shù)點(diǎn)后一兆二千四百一十一億位數(shù)，改寫了他本人兩年前創(chuàng)造的紀(jì)錄。據(jù)悉，金田教授與日立制作所的員工合作，利用目前計(jì)算能力居世界第二十六位的超級計(jì)算機(jī)，使用新的計(jì)算方法，耗時四百多個小時，才計(jì)算出新的數(shù)位，比他一九九九年九月計(jì)算出的小數(shù)點(diǎn)后二千六百一十一位提高了六倍。圓周率小數(shù)點(diǎn)后第一兆位數(shù)是二，第一兆二千四百一十一億位數(shù)為五。如果一秒鐘讀一位數(shù)，大約四萬年后才能讀完。不過，現(xiàn)在打破記錄，不管推進(jìn)到多少位，也不會令人感到特別的驚奇了。實(shí)際上，把 π 的數(shù)值算得過分精確，應(yīng)用意義并不大。現(xiàn)代科技領(lǐng)域使用的 π 值，有十幾位已經(jīng)足夠。如果用魯?shù)婪虻?5位小數(shù)的 π 值計(jì)算一個能把太陽系包圍起來的圓的周長，誤差還不到質(zhì)子直徑的百萬分之一。我們還可以引美國天文學(xué)家西蒙·紐克姆的話來說明這種計(jì)算的實(shí)用價(jià)值：“十位小數(shù)就足以使地球周界準(zhǔn)確到一英寸以內(nèi)，三十位小數(shù)便能使整個可見宇宙的四周準(zhǔn)確到連最強(qiáng)大的顯微鏡都不能分辨的一個量?！蹦敲礊槭裁磾?shù)學(xué)家們還象登山運(yùn)動員那樣，奮力向上攀登，一直求下去而不是停止對 π 的探索呢？為什么其小數(shù)值有如此的魅力呢？這其中大概免不了有人類的好奇心與領(lǐng)先于人的心態(tài)作怪，但除此之外，還有許多其它原因。奔騰與圓周率之間的奇妙關(guān)系……1、它現(xiàn)在可以被人們用來測試或檢驗(yàn)超級計(jì)算機(jī)的各項(xiàng)性能，特別是運(yùn)算速度與計(jì)算過程的穩(wěn)定性。這對計(jì)算機(jī)本身的改進(jìn)至關(guān)重要。就在幾年前，當(dāng)Intel公司推出奔騰（Pentium）時，發(fā)現(xiàn)它有一點(diǎn)小問題，這問題正是通過運(yùn)行 π 的計(jì)算而找到的。這正是超高精度的 π 計(jì)算直到今天仍然有重要意義的原因之一。2、 計(jì)算的方法和思路可以引發(fā)新的概念和思想。雖然計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度超出任何人的想象，但畢竟還需要由數(shù)學(xué)家去編制程序，指導(dǎo)計(jì)算機(jī)正確運(yùn)算。實(shí)際上，確切地說，當(dāng)我們把 π 的計(jì)算歷史劃分出一個電子計(jì)算機(jī)時期時，這并非意味著計(jì)算方法上的改進(jìn)，而只是計(jì)算工具有了一個大飛躍而已。因而如何改進(jìn)計(jì)算技術(shù)，研究出更好的計(jì)算公式，使公式收斂得更快、能極快地達(dá)到較大的精確度仍是數(shù)學(xué)家們面對的一個重要課題。在這方面，本世紀(jì)印度天才數(shù)學(xué)家拉馬努揚(yáng)得出了一些很好的結(jié)果。他發(fā)現(xiàn)了許多能夠迅速而精確地計(jì)算 π 近似值的公式。他的見解開通了更有效地計(jì)算 π 近似值的思路?，F(xiàn)在計(jì)算機(jī)計(jì)算 π 值的公式就是由他得到的。至于這位極富傳奇色彩的數(shù)學(xué)家的故事，在這本小書中我們不想多做介紹了。不過，我希望大家能夠明白 π 的故事講述的是人類的勝利，而不是機(jī)器的勝利。3、還有一個關(guān)于 π 的計(jì)算的問題是：我們能否無限地繼續(xù)算下去？答案是：不行！根據(jù)朱達(dá)偌夫斯基的估計(jì)，我們最多算1077位。雖然，現(xiàn)在我們離這一極限還相差很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)，但這畢竟是一個界限。為了不受這一界限的約束，就需要從計(jì)算理論上有新的突破。前面我們所提到的計(jì)算，不管用什么公式都必須從頭算起，一旦前面的某一位出錯，后面的數(shù)值完全沒有意義。還記得令人遺憾的謝克斯嗎？他就是歷史上最慘痛的教訓(xùn)。4、于是，有人想能否計(jì)算時不從頭開始，而是從半截開始呢？這一根本性的想法就是尋找并行算法公式。1996年，圓周率的并行算法公式終于找到，但這是一個16進(jìn)位的公式，這樣很容易得出的1000億位的數(shù)值，只不過是16進(jìn)位的。是否有10進(jìn)位的并行計(jì)算公式，仍是未來數(shù)學(xué)的一大難題。5、作為一個無窮數(shù)列，數(shù)學(xué)家感興趣的把 π 展開到上億位，能夠提供充足的數(shù)據(jù)來驗(yàn)證人們所提出的某些理論問題，可以發(fā)現(xiàn)許多迷人的性質(zhì)。如，在 π 的十進(jìn)展開中，10個數(shù)字，哪些比較稀，哪些比較密？ π 的數(shù)字展開中某些數(shù)字出現(xiàn)的頻率會比另一些高嗎？或許它們并非完全隨意？這樣的想法并非是無聊之舉。只有那些思想敏銳的人才會問這種貌似簡單，許多人司空見慣但卻不屑發(fā)問的問題。6、數(shù)學(xué)家弗格森最早有過這種猜想：在 π 的數(shù)值式中各數(shù)碼出現(xiàn)的概率相同。正是他的這個猜想為發(fā)現(xiàn)和糾正向克斯計(jì)算 π 值的錯誤立下了汗馬功勞。然而，猜想并不等于現(xiàn)實(shí)。弗格森想驗(yàn)證它，卻無能為力。后人也想驗(yàn)證它，也是苦于已知的 π 值的位數(shù)太少。甚至當(dāng)位數(shù)太少時，人們有理由對猜想的正確性做出懷疑。如，數(shù)字0的出現(xiàn)機(jī)會在開始時就非常少。前50位中只有1個0，第一次出現(xiàn)在32位上。可是，這種現(xiàn)象隨著數(shù)據(jù)的增多，很快就改變了：100位以內(nèi)有8個0；200位以內(nèi)有19個0；……1000萬位以內(nèi)有999，440個0；……60億位以內(nèi)有599，963，005個0，幾乎占1／10。其他數(shù)字又如何呢？結(jié)果顯示，每一個都差不多是1／10，有的多一點(diǎn)，有的少一點(diǎn)。雖然有些偏差，但都在1／10000之內(nèi)。7、人們還想知道： π 的數(shù)字展開真的沒有一定的模式嗎？我們希望能夠在十進(jìn)制展開式中通過研究數(shù)字的統(tǒng)計(jì)分布，尋找任何可能的模型――如果存在這種模型的話，迄今為止尚未發(fā)現(xiàn)有這種模型。同時我們還想了解： π 的展開式中含有無窮的樣式變化嗎？或者說，是否任何形式的數(shù)字排列都會出現(xiàn)呢？著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在沒有發(fā)表的筆記本中曾提出下面的問題： π 的十進(jìn)展開中是否有10個9連在一起？以現(xiàn)在算到的60億位數(shù)字來看，已經(jīng)出現(xiàn)：連續(xù)6個9連在一起。希爾伯特的問題答案似乎應(yīng)該是肯定的，看來任何數(shù)字的排列都應(yīng)該出現(xiàn)，只是什么時候出現(xiàn)而已。但這還需要更多 π 的數(shù)位的計(jì)算才能提供切實(shí)的證據(jù)。8、在這方面，還有如下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果：在60億數(shù)字中已出現(xiàn)連在一起的8個8；9個7；10個6；小數(shù)點(diǎn)后第710150位與3204765位開始，均連續(xù)出現(xiàn)了七個3；小數(shù)點(diǎn)52638位起連續(xù)出現(xiàn)了14142135這八個數(shù)字，這恰是的前八位；小數(shù)點(diǎn)后第2747956位起，出現(xiàn)了有趣的數(shù)列876543210，遺憾的是前面缺個9；還有更有趣的數(shù)列123456789也出現(xiàn)了。如果繼續(xù)算下去，看來各種類型的數(shù)字列組合可能都會出現(xiàn)。拾零： π 的其它計(jì)算方法在1777年出版的《或然性算術(shù)實(shí)驗(yàn)》一書中，蒲豐提出了用實(shí)驗(yàn)方法計(jì)算 π 。這個實(shí)驗(yàn)方法的操作很簡單：找一根粗細(xì)均勻，長度為 d 的細(xì)針，并在一張白紙上畫上一組間距為 l 的平行線（方便起見，常取 l = d/2），然后一次又一次地將小針任意投擲在白紙上。這樣反復(fù)地投多次，數(shù)數(shù)針與任意平行線相交的次數(shù)，于是就可以得到 π 的近似值。因?yàn)槠沿S本人證明了針與任意平行線相交的概率為 p = 2l/πd 。利用這一公式，可以用概率方法得到圓周率的近似值。在一次實(shí)驗(yàn)中，他選取 l = d/2 ，然后投針2212次，其中針與平行線相交704次，這樣求得圓周率的近似值為 2212/704 = 3.142。當(dāng)實(shí)驗(yàn)中投的次數(shù)相當(dāng)多時，就可以得到 π 的更精確的值。1850年，一位叫沃爾夫的人在投擲5000多次后，得到 π 的近似值為3.1596。目前宣稱用這種方法得到最好結(jié)果的是意大利人拉茲瑞尼。在1901年，他重復(fù)這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，作了3408次投針，求得 π 的近似值為3.1415929，這個結(jié)果是如此準(zhǔn)確，以致于很多人懷疑其實(shí)驗(yàn)的真?zhèn)巍Ｈ缑绹q他州奧格登的國立韋伯大學(xué)的L·巴杰就對此提出過有力的質(zhì)疑。不過，蒲豐實(shí)驗(yàn)的重要性并非是為了求得比其它方法更精確的 π 值。蒲豐投針問題的重要性在于它是第一個用幾何形式表達(dá)概率問題的例子。計(jì)算 π 的這一方法，不但因其新穎，奇妙而讓人叫絕，而且它開創(chuàng)了使用隨機(jī)數(shù)處理確定性數(shù)學(xué)問題的先河，是用偶然性方法去解決確定性計(jì)算的前導(dǎo)。在用概率方法計(jì)算 π 值中還要提到的是：R·查特在1904年發(fā)現(xiàn)，兩個隨意寫出的數(shù)中，互素的概率為6／π2。1995年4月英國《自然》雜志刊登文章，介紹英國伯明翰市阿斯頓大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系的羅伯特·馬修斯，如何利用夜空中亮星的分布來計(jì)算圓周率。馬修斯從100顆最亮的星星中隨意選取一對又一對進(jìn)行分析，計(jì)算它們位置之間的角距。他檢查了100萬對因子，據(jù)此求得 π 的值約為3.12772。這個值與真值相對誤差不超過5％。無窮的神秘氣息：紀(jì)梵希的男用香水 π 。廣告詞是：Explore pi, explore the universe通過幾何、微積分、概率等廣泛的范圍和渠道發(fā)現(xiàn) π ，這充分顯示了數(shù)學(xué)方法的奇異美。 π 竟然與這么些表面看來風(fēng)馬牛不相及的試驗(yàn)，溝通在一起，這的確使人驚訝不已。

1999年9月30日，《文摘報(bào)》報(bào)道，日本東京大學(xué)教授金田康正已求到2061.5843億位的小數(shù)值。如果將這些數(shù)字打印在A4大小的復(fù)印紙上，令每頁印2萬位數(shù)字，那么，這些紙摞起來將高達(dá)五六百米。來自最新的報(bào)道：金田康正利用一臺超級計(jì)算機(jī)，計(jì)算出圓周率小數(shù)點(diǎn)后一兆二千四百一十一億位數(shù)，改寫了他本人兩年前創(chuàng)造的紀(jì)錄。據(jù)悉，金田教授與日立制作所的員工合作，利用目前計(jì)算能力居世界第二十六位的超級計(jì)算機(jī)，使用新的計(jì)算方法，耗時四百多個小時，才計(jì)算出新的數(shù)位，比他一九九九年九月計(jì)算出的小數(shù)點(diǎn)后二千六百一十一位提高了六倍。 根據(jù)朱達(dá)偌夫斯基的估計(jì)，我們最多算10的77次方位。另外，那個記錄是2003年的

估計(jì)一個上界非常容易,比如我們可以考慮存儲問題,我們至少要將Pi計(jì)算出來的所有數(shù)據(jù)存儲在我們的宇宙中,那么宇宙的大小就對數(shù)據(jù)的存儲帶來限制了. 比如現(xiàn)在宇宙我們可以假設(shè)直徑在100億光年左右,那么大概在10^26米,或者10^35納米. 如果我們讓每一個立方納米的地方保存一個比特位,那么整個宇宙能夠保存的數(shù)據(jù)大小不超過 (10^35)^3=10^105個比特位,大概是10^104個十進(jìn)制位.所以我們可以知道10^104是一個上界. 而實(shí)際上,宇宙空間中粒子的密度根本沒有那么大(每一個立方納米一個粒子),如果我們用粒子的數(shù)目來估計(jì),那么肯定可以得到一個更小的數(shù)據(jù). google搜索到一個數(shù)據(jù):宇宙中粒子數(shù)目在10^72到10^87之間 另外一個鏈接, 上面說宇宙中所有核子的數(shù)目大概是10^77,也許這就是上面那個上限的來源吧 回答者： thunderwrath - 見習(xí)魔法師 二級 11-29 23:48 圓周率是無理數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)，現(xiàn)在的算法起源于中國古代的割圓術(shù)，即把正無數(shù)邊形看作趨向于圓的圖形計(jì)算，理論上是可以無窮計(jì)算下去的，但為什么說有限呢，其實(shí)是根據(jù)現(xiàn)有的算法，全世界的電腦和它們一起工作達(dá)到的速度不停算到幾百幾千年才能算到。 回答者： MDG915 - 經(jīng)理 四級11-29 23:50計(jì)算機(jī)都沒有能夠無限算下去 回答者： rainstan - 經(jīng)理 四級 11-29 23:50肯定是無限的。要不然就不是圓！ 回答者： yu_love141 - 經(jīng)理 五級 11-30 00:03Since, as Paola Zizzi says in gr-qc/0007006, ( with some editing by me denoted by [ ] ): "... the quantum register grows with time. ... At time Tn = (n+1) Tplanck the quantum gravity register will consist of (n+1)^2 qubits. [ Let N = (n+1)^2 ] ...", we have the number of qubits at Reheating: Nreh = ( n_reh )^2 = ( 2^128 )^2 = 2^256 = 10^77 Since each qubit at Reheating should correspond, not to Planck Mass Black Holes, but to fermion particle-antiparticle pairs that average about 0.66 GeV, we have the result that the number of particles in our Universe at Reheating is about 10^77 nucleons. After Reheating, our Universe enters the Radiation-Dominated Era, and, since there is no continuous creation, particle production stops, so the 10^77 nucleon Baryonic Mass of our Universe has been mostly constant since Reheating, and will continue to be mostly constant until Proton Decay. The present scale of our Universe is about R(tnow) = 10^28 cm, so that its volume is now about 10^84 cm^3, and its baryon density is now about 10^77 protons / 10^84 cm^3 = 10^(-7) protons/cm^3 = 10^(-7-19-5) gm / cm^3 = 10^(-31) gm / cm^3 = roughly the baryonic mass density of our Universe. Since the critical density of our Universe is about 10^(-29) gm / cm^3, it is likely that the excess of the critical mass of our Universe over its baryonic mass is due to a cosmological constant. 上面說宇宙中所有核子的數(shù)目大概是10^77,也許這就是上面那個上限的來源 回答者： attlan - 助理 二級 11-30 00:26朱達(dá)偌夫斯基 是個英文名.只知道后面是novsky,前面不知,太難找了. 回答者：匿名 11-30 00:41這里有詳細(xì)資料 希望對你有幫助 回答者： 新惡魔獵手 - 魔法師 五級 11-30 00:42圓的周長與直徑之比是一個常數(shù)，人們稱之為圓周率。通常用希臘字母“π”來表示。1706年，英國人瓊斯首次創(chuàng)用π代表圓周率。他的符號并未立刻被采用，以后，歐拉予以提倡，才漸漸推廣開來?，F(xiàn)在π已成為圓周率的專用符號，π的研究，在一定程度上反映這個地區(qū)或時代的數(shù)學(xué)水平，它的歷史是饒有趣味的。 在古代，實(shí)際上長期使用 π＝3這個數(shù)值，巴比倫、印度、中國都是如此。到公元前2世紀(jì)，中國的《周髀算經(jīng)》里已有周三徑一的記載。東漢的數(shù)學(xué)家又將值改為根號10（約為3.16）。真正使圓周率計(jì)算建立在科學(xué)的基礎(chǔ)上，首先應(yīng)歸功于阿基米德。他專門寫了一篇論文《圓的度量》，用幾何方法證明了圓周率與圓直徑之比小于三又七分之一而大于三又七十一分之十。這是第一次在科學(xué)中創(chuàng)用上、下界來確定近似值。第一次用正確方法計(jì)算π值的，是魏晉時期的劉徽，在公元263年，他創(chuàng)用了用圓的內(nèi)接正多邊形的面積來逼近圓面積的方法，算得π值為3.14。我國稱這種方法為“割圓術(shù)”。直到1200年后，西方人才找到了類似的方法。后人為紀(jì)念劉徽的貢獻(xiàn)，將3.14稱為徽率。 公元460年，南朝的祖沖之利用劉徽的割圓術(shù)，把π值算到小點(diǎn)后第七位3.1415926，這個具有七位小數(shù)的圓周率在當(dāng)時是世界首次。祖沖之還找到了兩個分?jǐn)?shù)：22/7和113/355，用分?jǐn)?shù)來代替π，極大地簡化了計(jì)算，這種思想比西方也早一千多年。 祖沖之的圓周率，保持了一千多年的世界記錄。終于在1596年，由荷蘭數(shù)學(xué)家盧道夫打破了。他把π值推到小數(shù)點(diǎn)后第15位小數(shù)，最后推到第35位。為了紀(jì)念他這項(xiàng)成就，人們在他1610年去世后的墓碑上，刻上：3.14159265358979323846264338327950288這個數(shù)，從此也把它稱為“盧道夫數(shù)”。 之后，西方數(shù)學(xué)家計(jì)算 的工作，有了飛速的進(jìn)展。1948年1月，費(fèi)格森與雷思奇合作，算出808位小數(shù)的π值。計(jì)算機(jī)問世后，π的人工計(jì)算宣告結(jié)束。20世紀(jì)50年代，人們借助計(jì)算機(jī)算得了10萬位小數(shù)的π值，70年代又突破這個記錄，算到了150萬位。到90年代初，用新的計(jì)算方法，算到的值已到了4.8億位。π的計(jì)算經(jīng)歷了幾千年的歷史，它的每一次重大進(jìn)步，都標(biāo)志著技術(shù)和算法的革新。 圓周率π的計(jì)算歷程 圓周率是一個極其馳名的數(shù)。從有文字記載的歷史開始，這個數(shù)就引進(jìn)了外行人和學(xué)者們的興趣。

古今中外，許多人致力于圓周率的研究與計(jì)算。為了計(jì)算出圓周率的越來越好的近似值，一代代的數(shù)學(xué)家為這個神秘的數(shù)貢獻(xiàn)了無數(shù)的時間與心血。十九世紀(jì)前，圓周率的計(jì)算進(jìn)展相當(dāng)緩慢，十九世紀(jì)后，計(jì)算圓周率的世界紀(jì)錄頻頻創(chuàng)新。整個十九世紀(jì)，可以說是圓周率的手工計(jì)算量最大的世紀(jì)。進(jìn)入二十世紀(jì)，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)明，圓周率的計(jì)算有了突飛猛進(jìn)。借助于超級計(jì)算機(jī)，人們已經(jīng)得到了圓周率的2061億位精度。歷史上最馬拉松式的計(jì)算，其一是德國的Ludolph Van Ceulen，他幾乎耗盡了一生的時間，計(jì)算到圓的內(nèi)接正262邊形，于1609年得到了圓周率的35位精度值，以至于圓周率在德國被稱為Ludolph數(shù)；其二是英國的威廉·山克斯，他耗費(fèi)了15年的光陰，在1874年算出了圓周率的小數(shù)點(diǎn)后707位，并將其刻在了墓碑上作為一生的榮譽(yù)?？上В笕税l(fā)現(xiàn)，他從第528位開始就算錯了。把圓周率的數(shù)值算得這么精確，實(shí)際意義并不大。現(xiàn)代科技領(lǐng)域使用的圓周率值，有十幾位已經(jīng)足夠了。如果用魯?shù)婪蛩愠龅?5位精度的圓周率值，來計(jì)算一個能把太陽系包起來的一個圓的周長，誤差還不到質(zhì)子直徑的百萬分之一。以前的人計(jì)算圓周率，是要探究圓周率是否循環(huán)小數(shù)。自從1761年蘭伯特證明了圓周率是無理數(shù)，1882年林德曼證明了圓周率是超越數(shù)后，圓周率的神秘面紗就被揭開了。現(xiàn)在的人計(jì)算圓周率, 多數(shù)是為了驗(yàn)證計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力，還有，就是為了興趣。