在喀山大學(xué)樹立起世界上第一個(gè)數(shù)學(xué)家的塑像。這位數(shù)學(xué)家就是俄國的偉大學(xué)者、非歐幾何的創(chuàng)始人之一羅巴切夫期基（H.N.JIoqaheBCKNN，1792-1856）。非歐幾何是人類認(rèn)識史上一個(gè)富有創(chuàng)造性的偉大成果，它的創(chuàng)立，不僅帶來了近百年來數(shù)學(xué)的巨大進(jìn)步，而且對現(xiàn)代物理學(xué)、天文學(xué)以及人類時(shí)空觀念的變革都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響?？墒?，這一重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)在羅巴切夫斯基提出后相當(dāng)長的段時(shí)間內(nèi)，不但沒能贏得社會(huì)的承認(rèn)和贊美，反而遭到種種歪曲、非難和攻擊，使非歐幾何這一新理論遲遲得不到學(xué)術(shù)界的公認(rèn)。 失敗的啟迪羅巴切夫斯基是在嘗試解決歐氏第五公設(shè)問題的過程中，從失敗走上他的發(fā)現(xiàn)之路的。歐氏第五公設(shè)問題是數(shù)學(xué)史上最古老的著名難題之一。它是由古希臘學(xué)者最先提出來的。公元前3世紀(jì)，希臘亞歷山大里亞學(xué)派的創(chuàng)始者歐幾里得（Euclid，約公元前330年-前275）集前人幾何研究之大成，編寫了數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有極其深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)巨著《幾何原本》。這部著作的重要意義在于，它是用公理法建立科學(xué)理論體系的最早典范。在這部著作中，歐幾里得為推演出幾何學(xué)的所有命題，一開頭就給出了五個(gè)公理（適用于所有科學(xué)）和五個(gè)公設(shè)（只應(yīng)用于幾何學(xué)），作為邏輯推演的前提?！稁缀卧尽返淖⑨屨吆驮u述者們對五個(gè)公理和前四個(gè)公設(shè)都是很滿意，唯獨(dú)對第五個(gè)公設(shè)（即平行公理）提出了質(zhì)疑。 第五公設(shè)是論及平行線的，它說的是：如果一直線和兩直線相交，所構(gòu)成的兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角之和小于兩直角，那么，把這兩直線延長，它們一定在那兩內(nèi)角的側(cè)相交。數(shù)學(xué)家們并不懷疑這個(gè)命題的真實(shí)性，而是認(rèn)為它無論在語句還是在內(nèi)容上都不大像是個(gè)公設(shè)，而倒像是個(gè)可證的定理，只是由于歐幾里得沒能找到它的證明，才不得不把它放在公設(shè)之列。 為給出第五公設(shè)的證明，完成歐幾里得沒能完成的工作，自公元前3世紀(jì)起到19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們投入了無窮無盡的精力，他們幾乎嘗試了各種可能的方法，但都遭到了失敗。羅巴切夫斯基是從1815年著手研究平行線理論的。開始，他也是循著前人的思路，試圖給出第五公設(shè)的證明。在保存下來的他的學(xué)生聽課筆記中，就記有他在1816--1817學(xué)年度向何教學(xué)中給出的幾個(gè)證明?？墒?，很快他便意識到自己的證明是錯(cuò)誤的。前人和自己的失敗從反面啟迪了他，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設(shè)的證明。于是，他便調(diào)轉(zhuǎn)思路，著手尋求第五公設(shè)不可證的解答，這是一個(gè)全新的，也是與傳統(tǒng)思路完全相反的探索途徑。羅巴切夫斯基正是沿著這個(gè)途徑，在試證第五公設(shè)不可證的過程上發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的幾何世界的。 那么，羅巴切夫斯基是怎樣證得第五公設(shè)不可證的呢？又是怎樣從中發(fā)現(xiàn)新幾何世界的呢？原來他創(chuàng)造性地運(yùn)用了處理復(fù)雜數(shù)學(xué)問題常用的一種邏輯方法--反證法。 這種反證法的基本思想是，為證"第五公設(shè)不可證"，首先對第五公設(shè)加以否定，然后用這個(gè)否定命題和其它公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)，并由此展開邏輯推演。假設(shè)第五公設(shè)是可證的，即第五公設(shè)可由其它公理公設(shè)推演出來，那么，在新公理系統(tǒng)的推演過程中一定能出現(xiàn)邏輯矛盾，至少第五公設(shè)和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了"第五公設(shè)可證"這一假設(shè)，從而也就間接證得"第五公設(shè)不可證"。 依照這個(gè)邏輯思路，羅巴切夫斯基對第五公設(shè)的等價(jià)命題普列菲爾公理"過平面上直線外一點(diǎn)，只能引一條直線與已知直線不相交"作以否定，得到否定命題"過平面上直線外一點(diǎn)，至少可引兩條直線與已知直線不相交"，并用這個(gè)否定命題和其它公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)展開邏輯推演。在推演過程中，他得到一連串古怪的命題，但是，經(jīng)過仔細(xì)審查，卻沒有發(fā)現(xiàn)它們之間含有任何羅輯矛盾。于是，遠(yuǎn)見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個(gè)"在結(jié)果中并不存在任何矛盾"的新公理系統(tǒng)可構(gòu)成一種新的幾何，它的羅輯完整性和嚴(yán)密性可以和歐幾里得幾何相媲美。而這個(gè)無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設(shè)可證性的反駁，也就是對第五公設(shè)不可證性的邏輯證明。由于尚未找到新幾何在現(xiàn)實(shí)界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個(gè)新幾何稱之為"想象幾何"。 在冷漠中宣告新幾何誕生 1826年2月23日，羅巴切夫斯基于喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)系學(xué)術(shù)會(huì)議上宣讀了他的第一篇關(guān)于非歐幾何的論文《幾何學(xué)原理及平行線定理嚴(yán)格證明的摘要》。這篇首創(chuàng)性論文的問世，標(biāo)志著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成果剛一公諸于世，就遭到正統(tǒng)數(shù)學(xué)家的冷漠和反對。 參加2月23日學(xué)術(shù)公議的全是數(shù)學(xué)造詣較深的專家，其中著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家西蒙諾夫（A.M.CИMOHOB），有后來成為科學(xué)院院士的古普費(fèi)爾（A.R.KYI-Iφep）以及后來在數(shù)學(xué)界頗有聲望的博拉斯曼（H.Д.Бp-aшMah）。在這些人的心目中，羅巴切夫斯基是一位很有才華的青年數(shù)學(xué)家?？墒?，出乎他們的意料，這位年輕的教授在簡短的開場白之后，接著說的全是一些令人莫明其妙的話，諸如三角形的內(nèi)角和小于兩直角，而且隨著邊長增大而無限變小，直至趨于零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，等等。這些命題不僅離奇古怪，與歐幾里得幾何相沖突，而且還與人們的日常經(jīng)驗(yàn)相背離。然而，報(bào)告者卻認(rèn)真地、充滿信心地指出，它們屬于一種邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男聨缀?，和歐幾里得向何有著同等的存在權(quán)利。這些古怪的語言，竟然出自一個(gè)頭腦清楚、治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)家教授之口，不能不使與會(huì)者們感到意外。他們先是表現(xiàn)現(xiàn)一種疑惑和驚呆，不多一會(huì)兒，便流露出各種否定的表情。 宣講論文后，羅巴切夫斯基誠懇地請與會(huì)者討論，提出修改意見?？墒?，誰也不肯作任何公開評論，會(huì)場上一片冷漠。一個(gè)具有獨(dú)創(chuàng)性的重大發(fā)現(xiàn)作出了，那些最先聆聽到發(fā)現(xiàn)者本人講述發(fā)現(xiàn)內(nèi)容的同行專家，卻因思想上的守舊，不僅沒能理解這一發(fā)現(xiàn)的重要意義，反而采取了冷談和輕慢的態(tài)度，這實(shí)在是一件令人遺憾的事情。 會(huì)后，系學(xué)術(shù)委員會(huì)委托西蒙諾夫、古普費(fèi)爾和博拉斯曼組成三人鑒定小組，對羅巴切夫斯基的論文作出書面鑒定。他們的態(tài)度無疑是否定的，但又遲遲不肯寫出書面意見，以致最后連文稿也給弄丟了。 權(quán)威的譏諷與匿名者的攻擊 羅巴切夫斯基的首創(chuàng)性論文沒能引起學(xué)術(shù)界的注意和重視，論文本身也似石沉大海，不知被遺棄何處。但他并沒有因此灰心喪氣，而是頑強(qiáng)地繼續(xù)獨(dú)自探索新幾何的奧秘。1829年，他又撰寫出一篇題為《幾何學(xué)原理》的論文。這篇論文重現(xiàn)了第一篇論文的基本思想，并且有所補(bǔ)充和發(fā)展。此時(shí)，羅巴切夫斯基已被推選為喀山大學(xué)校長，可能出自對校長的"尊敬"，《喀山大學(xué)通報(bào)》全文發(fā)表了這篇論文。 1832年，根據(jù)羅巴切夫斯基的請求，喀山大學(xué)學(xué)術(shù)委員會(huì)把這篇論文呈送彼得堡科學(xué)院審評?？茖W(xué)院委托著名數(shù)學(xué)家奧斯特羅格拉茨基（M.B.OCTPOГPAДCKИЙ，1801-1862）院士作評定。奧斯特羅格拉茨基是新推選的院士，曾在數(shù)學(xué)物理、數(shù)學(xué)分析、力學(xué)和天體力學(xué)等方面有過卓越的成就，在當(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界有很高的聲望?？上У氖?，就是這樣一位杰出的數(shù)學(xué)家，也沒能理解羅巴切夫斯基的新幾何思想，甚至比喀山大學(xué)的教授們更加保守。如果說喀山大學(xué)的教授們對羅巴切夫斯基本人還是很"寬容"的話，那么，奧斯特羅格拉茨基則使用極其挖苦的語言，對羅巴切夫斯基作了公開的指責(zé)和攻擊。同年11月7日，他在給科學(xué)院的鑒定書中一開頭就以嘲弄的口吻寫道："看來，作者旨在寫出一部使人不能理解的著作。他達(dá)到自己的目的。"接著，對羅巴切夫斯基的新幾何思想進(jìn)行了歪曲和貶低。最后粗暴地?cái)嘌裕?由此我得出結(jié)論，羅馬切夫斯基校長的這部著作謬誤連篇，因而不值得科學(xué)院的注意。" 這篇論文不僅引起了學(xué)術(shù)界權(quán)威的惱怒，而且還激起了社會(huì)上反動(dòng)勢力的敵對叫囂。名叫布拉切克（C.A.БypaЧek）和捷列內(nèi)（C.И.ЗeЛeHbiЙ）的兩個(gè)人，以匿名C．C在《祖國之子》雜志上撰文，公開指名對羅巴切夫斯基進(jìn)行人身攻擊。匿名者在題為《評羅巴切夫斯基的著作《幾何學(xué)原理》一文中，開始就不懷好意地寫道："甚至難以理解，羅巴切夫斯基先生是如何用數(shù)學(xué)中最簡明的幾何學(xué)，建立起晦澀的、不可思議和神秘莫測的學(xué)說的。"文中嘲弄道："為什么不能把黑的想象成白的，把圓的想象成方的，把三角形內(nèi)角和想象成小于兩直角，把同一個(gè)定積分值想象成既等于π/4，又等于∞？非常、非?？赡?，盡管理智是不能理解這些的。"在文章的結(jié)尾處，作者更加放肆地譏諷道："為什么不寫成，例如對幾何學(xué)的諷刺，幾何學(xué)漫畫等什么的，來代替標(biāo)題《幾何學(xué)原理》？" 針對這篇污辱性的匿名文章，羅巴切夫斯基撰寫了一篇反駁文章。但《祖國之子》雜志卻以維護(hù)雜志聲譽(yù)為由，將羅巴切夫斯基的文章扣壓下來，一直不予發(fā)表。對此，羅巴切夫斯基極為氣憤。 《祖國之子》雜志刊登攻擊科學(xué)家的匿名文章并非偶然，而是有一定的政治背景的。原來這家雜志的把持者布爾加林（Ф. В. БyjiГapИH）和格列奇（M.И.ГpeЧ）同沙皇秘密政治組織"第三廳"有著聯(lián)系，他們靠"第三廳"的資助維持雜志，并且充當(dāng)幫兇，專門監(jiān)視和打擊先進(jìn)的思想家和具有革命傾向的科學(xué)家。明顯表現(xiàn)有無神論和唯物主義傾向的喀山大學(xué)校長羅巴切夫斯基，自然要被他們列為危險(xiǎn)對象加以監(jiān)視。借歪曲、詆毀科學(xué)新成果，來壓制、打擊具有進(jìn)步思想的科學(xué)家，是一切反動(dòng)勢力的慣用伎倆。 在孤境中奮斗終生 羅巴切夫斯基開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域，但他的創(chuàng)造性工作在生前始終沒能得到學(xué)術(shù)界的重視和承認(rèn)。就在他去世的前兩年，俄國著名數(shù)學(xué)家布尼雅可夫斯基（В.Я.БyhЯkobckИЙ，1804－1889）還在其所著的《平行線》一書中對羅巴切夫斯基發(fā)難，他試圖通過論述非歐幾何與經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識的不一致性，來否定非歐幾何的真實(shí)性。英國著名數(shù)學(xué)家莫爾甘（Morgan，1806－1871）對非歐幾何的抗拒心里表現(xiàn)得就更加明顯了，他甚至在沒有親自研讀非歐幾何著作的情況下就武斷地說："我認(rèn)為，任何時(shí)候也不會(huì)存在與歐幾里得幾何本質(zhì)上不同的另外一種幾何。"莫爾甘的話代表了當(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界對非歐幾何的普遍態(tài)度。 在創(chuàng)立和發(fā)展非歐幾何的艱難歷程上，羅巴切夫斯基始終沒能遇到他的公開支持者，就連非歐幾何的另一位發(fā)現(xiàn)者德國的高斯（Gauss，1777－1855）也不肯公開支持他的工作。高斯是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界首屈一指的學(xué)學(xué)巨匠，負(fù)有"歐洲數(shù)學(xué)之王"的盛名，早在1792年，也就是羅巴切夫斯基誕生的那一年，他就已經(jīng)產(chǎn)生了非歐幾何思想萌芽，到了1817年已達(dá)成熟程度。他把這種新幾何最初稱之為"反歐幾何"。后稱"星空幾何"，最后稱"非歐幾何"。但是，高斯由于害怕新幾何會(huì)激起學(xué)術(shù)界的不滿和社會(huì)的反對，會(huì)由此影響他的尊嚴(yán)和榮譽(yù)，生前一直沒敢把自己的這一重大發(fā)現(xiàn)公之于世，只是謹(jǐn)慎地把部分成果寫在日記和與朋友的往來書信中。當(dāng)高斯看到羅巴切夫斯基的德文非歐幾何著作《平行線理論的幾何研究》（1840年）后，內(nèi)心是矛盾的，他一方面私下在朋友面前高度稱贊羅巴切夫斯基是"俄國最卓越的數(shù)學(xué)家之一"，并下決心學(xué)習(xí)俄語，以便直接閱讀羅巴切夫斯基的全部非歐幾何著作；另一方面，卻又不準(zhǔn)朋友向外界泄露他對非歐幾何的有關(guān)告白，也從不以任何形式對羅巴切夫斯基的非歐幾何研究工作加以公開評論。他積極推選羅巴切夫斯基為哥延根皇家科學(xué)院通訊院士，可是，在評選會(huì)上和他親筆寫給羅巴切夫斯基的推選通知書中，他對羅巴切夫斯基在數(shù)學(xué)上的最卓越貢獻(xiàn)－－創(chuàng)立非歐幾何卻避而不談。 高斯憑任在數(shù)學(xué)界的聲望和影響，完全有可能減少羅巴切夫斯基的壓力，促進(jìn)學(xué)術(shù)界對非歐幾何的公認(rèn)。然而，在頑固的保守勢力面前他卻喪失了斗爭的勇氣。高斯的沉默和軟弱表現(xiàn)，不便嚴(yán)重限制了他在非歐幾何研究上所能達(dá)到的高度，而且客觀上助長了保守勢力對羅巴切夫斯基的攻擊。 晚年的羅巴切夫斯基心情更加沉重，他不僅在學(xué)術(shù)上受到壓制，而且在工作上還受到限制。按照當(dāng)時(shí)俄國大學(xué)委員會(huì)的條例，教授任職的最高斯限是30年，依照這個(gè)條例，1846年羅巴切夫斯基向人民教育部提出呈文，請求免去他在數(shù)學(xué)教研室的工作，并推薦讓位給他的學(xué)生A.Φ.波波夫。人民教育部早就對不順從他們意志辦事的羅巴切夫斯基抱有成見，但又找不到合適的機(jī)會(huì)免去他在喀山大學(xué)的校長職務(wù)。羅巴切夫斯基辭去教授職務(wù)的申請正好被他們用以作為借口，不僅免去了他主持教研室的工作，而且還違背他本人的意愿，免去了他在喀山大學(xué)的所有職務(wù)。被迫離開終生熱愛的大學(xué)工作，使羅巴切夫斯基在精神上遭到嚴(yán)重打擊。他對人民教育部的這項(xiàng)無理決定，表示了極大的憤慨。 家庭的不幸格外增加了他的苦惱。他最喜歡的、很有才華的大兒子因患肺結(jié)核醫(yī)治無效死去，這使他十分傷感。他的身體也變得越來越多病，眼睛逐漸失明，最后終于什么也看不見了。1856年2月12日，偉大的學(xué)者羅巴切夫斯基在苦悶和抑郁中走完了他生命的最后一段路程?？ι酱髮W(xué)師生為他舉行了隆重的追悼會(huì)。在追悼會(huì)上，他的許多同事和學(xué)生高度贊揚(yáng)他在建設(shè)喀山大學(xué)、提高民族教育水平和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人材等方面的卓越功績，可是誰也不提他的非歐幾何研究工作，因?yàn)榇藭r(shí)，人們還普遍認(rèn)為非歐幾何純屬"無稽之談"。 羅巴切夫斯基為非歐幾何的生存和發(fā)展奮斗了三十多年，他從來沒有動(dòng)搖過對新幾何遠(yuǎn)大前途的堅(jiān)定信念。為了擴(kuò)大非歐幾何的影響，爭取早日取得學(xué)術(shù)界的承認(rèn)，除了用俄文外，他還用法文、德文發(fā)現(xiàn)了自己的著作，同時(shí)還精心設(shè)計(jì)了檢驗(yàn)大尺度空間幾何特性的天文觀測方案。不僅如此，他還發(fā)展了非歐幾何的解析和微分部分，使之成為一個(gè)完整的、有系統(tǒng)的理論體系。在身患重病，臥床不起的困境下，他也沒停止對非歐幾何的研究。他的最后一部巨著《論幾何學(xué)》，就是在他雙目失明，臨去世的前一年，口授他的學(xué)生完成的。 歷史是最公允的，因?yàn)樗K將會(huì)對各種思想、觀點(diǎn)和見解作出正確的評價(jià)。1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米（Beltrami，1835－1899）發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以"翻譯"成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。人們既然承認(rèn)歐幾里是沒有矛盾的，所以也就自然承認(rèn)非歐幾何沒有矛盾了。直到這時(shí)，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評價(jià)和一致贊美，他本人則被人們贊譽(yù)為"幾何學(xué)中的哥白尼"。在科學(xué)探索的征途上，一個(gè)人經(jīng)得住一時(shí)的挫折和打擊并不難，難的是勇于長期甚至終生在逆境中奮斗。羅巴切夫斯基就是在逆境中奮斗終生的勇士。同樣，一名科學(xué)工作者，特別是聲望較高的學(xué)術(shù)專家，正確識別出那些已經(jīng)成熟的或具有明顯現(xiàn)實(shí)意義的科這成果并不難，難的是及時(shí)識別出那些尚未成熟或現(xiàn)實(shí)意義尚未顯露出來的科學(xué)成果。我們每一位科學(xué)工作者，既應(yīng)當(dāng)作一名勇于在逆境中頑強(qiáng)點(diǎn)頭的科學(xué)探索者，又應(yīng)當(dāng)成為一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域中新生事物的堅(jiān)定支持者。 回答者： LIUXIAO198812 - 見習(xí)魔法師 三級10-3 16:55數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。簡單地說，就是研究數(shù)和形的科學(xué)。 由于生活和勞動(dòng)上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計(jì)數(shù)，并由用手指或?qū)嵨镉?jì)數(shù)發(fā)展到用數(shù)字計(jì)數(shù)。在中國，最遲在商代，即已出現(xiàn)用十進(jìn)制數(shù)字表示大數(shù)的方法；至秦漢之際，即已出現(xiàn)完滿的十進(jìn)位制。在不晚于公元一世紀(jì)的《九章算術(shù)》中，已載了只有位值制才有可能進(jìn)行的開平方、開立方的計(jì)算法則，并載有分?jǐn)?shù)的各種運(yùn)算以及解線性聯(lián)立方程組的方法，還引入了負(fù)數(shù)概念。 劉徽在他注解的《九章算術(shù)》中，還提出過用十進(jìn)制小數(shù)表示無理數(shù)平方根的奇零部分，但直至唐宋時(shí)期(歐洲則在16世紀(jì)斯蒂文以后)十進(jìn)制小數(shù)才獲通用。在這本著作中，劉徽又用圓內(nèi)接正多邊形的周長逼近圓周長，成為后世求圓周率的一般方法。 雖然中國從來沒有過無理數(shù)或?qū)崝?shù)的一般概念，但在實(shí)質(zhì)上，那時(shí)中國已完成了實(shí)數(shù)系統(tǒng)的一切運(yùn)算法則與方法，這不僅在應(yīng)用上不可缺，也為數(shù)學(xué)初期教育所不可少。至于繼承了巴比倫、埃及、希臘文化的歐洲地區(qū)，則偏重于數(shù)的性質(zhì)及這些性質(zhì)間的邏輯關(guān)系的研究。 早在歐幾里得的《幾何原本》中，即有素?cái)?shù)的概念和素?cái)?shù)個(gè)數(shù)無窮及整數(shù)惟一分解等論斷。古希臘發(fā)現(xiàn)了有非分?jǐn)?shù)的數(shù)，即現(xiàn)稱的無理數(shù)。16世紀(jì)以來，由于解高次方程又出現(xiàn)了復(fù)數(shù)。在近代，數(shù)的概念更進(jìn)一步抽象化，并依據(jù)數(shù)的不同運(yùn)算規(guī)律，對一般的數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行了獨(dú)立的理論探討，形成數(shù)學(xué)中的若干不同分支。 開平方和開立方是解最簡單的高次方程所必須用到的運(yùn)算。在《九章算術(shù)》中，已出現(xiàn)解某種特殊形式的二次方程。發(fā)展至宋元時(shí)代，引進(jìn)了“天元”(即未知數(shù))的明確觀念，出現(xiàn)了求高次方程數(shù)值解與求多至四個(gè)未知數(shù)的高次代數(shù)聯(lián)立方程組的解的方法，通稱為天元術(shù)與四元術(shù)。與之相伴出現(xiàn)的多項(xiàng)式的表達(dá)、運(yùn)算法則以及消去方法，已接近于近世的代數(shù)學(xué)。 在中國以外，九世紀(jì)阿拉伯的花拉米子的著作闡述了二次方程的解法，通常被視為代數(shù)學(xué)的鼻祖，其解法實(shí)質(zhì)上與中國古代依賴于切割術(shù)的幾何方法具有同一風(fēng)格。中國古代數(shù)學(xué)致力于方程的具體求解，而源于古希臘、埃及傳統(tǒng)的歐洲數(shù)學(xué)則不同，一般致力于探究方程解的性質(zhì)。 16世紀(jì)時(shí)，韋達(dá)以文字代替方程系數(shù)，引入了代數(shù)的符號演算。對代數(shù)方程解的性質(zhì)進(jìn)行探討，是從線性方程組引出的行列式、矩陣、線性空間、線性變換等概念與理論的出現(xiàn)；從代數(shù)方程導(dǎo)致復(fù)數(shù)、對稱函數(shù)等概念的引入以至伽羅華理論與群論的創(chuàng)立。而近代極為活躍的代數(shù)幾何，則無非是高次聯(lián)立代數(shù)方程組解所構(gòu)成的集合的理論研究。 形的研究屬于幾何學(xué)的范疇。古代民族都具有形的簡單概念，并往往以圖畫來表示，而圖形之所以成為數(shù)學(xué)對象是由于工具的制作與測量的要求所促成的。規(guī)矩以作圓方，中國古代夏禹泊水時(shí)即已有規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等測量工具。 墨經(jīng)》中對一系列的幾何概念，有抽象概括，作出了科學(xué)的定義?！吨荀滤憬?jīng)》與劉徽的《海島算經(jīng)》給出了用矩觀測天地的一般方法與具體公式。在《九章算術(shù)》及劉徽注解的《九章算術(shù)》中，除勾股定理外，還提出了若干一般原理以解決多種問題。例如求任意多邊形面積的出入相補(bǔ)原理；求多面體的體積的陽馬鱉需的二比一原理(劉徽原理)；5世紀(jì)祖(日恒)提出的用以求曲形體積特別是球的體積的“冪勢既同則積不容異”的原理；還有以內(nèi)接正多邊形逼近圓周長的極限方法(割圓術(shù))。但自五代(約10世紀(jì))以后，中國在幾何學(xué)方面的建樹不多。 中國幾何學(xué)以測量和計(jì)算面積、體積的量度為中心任務(wù)，而古希臘的傳統(tǒng)則是重視形的性質(zhì)與各種性質(zhì)間的相互關(guān)系。歐幾里得的《幾何原本》，建立了用定義、公理、定理、證明構(gòu)成的演繹體系，成為近代數(shù)學(xué)公理化的楷模，影響遍及于整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展。特別是平行公理的研究，導(dǎo)致了19世紀(jì)非歐幾何的產(chǎn)生。 歐洲自文藝復(fù)興時(shí)期起通過對繪畫的透視關(guān)系的研究，出現(xiàn)了射影幾何。18世紀(jì)，蒙日應(yīng)用分析方法對形進(jìn)行研究，開微分幾何學(xué)的先河。高斯的曲面論與黎曼的流形理論開創(chuàng)了脫離周圍空間以形作為獨(dú)立對象的研究方法；19世紀(jì)克萊因以群的觀點(diǎn)對幾何學(xué)進(jìn)行統(tǒng)一處理。此外，如康托爾的點(diǎn)集理論，擴(kuò)大了形的范圍；龐加萊創(chuàng)立了拓?fù)鋵W(xué)，使形的連續(xù)性成為幾何研究的對象。這些都使幾何學(xué)面目一新。 在現(xiàn)實(shí)世界中，數(shù)與形，如影之隨形，難以分割。中國的古代數(shù)學(xué)反映了這一客觀實(shí)際，數(shù)與形從來就是相輔相成，并行發(fā)展的。例如勾股測量提出了開平方的要求，而開平方、開立方的方法又奠基于幾何圖形的考慮。二次、三次方程的產(chǎn)生，也大都來自幾何與實(shí)際問題。至宋元時(shí)代，由于天元概念與相當(dāng)于多項(xiàng)式概念的引入，出現(xiàn)了幾何代數(shù)化。 在天文與地理中的星表與地圖的繪制，已用數(shù)來表示地點(diǎn)，不過并未發(fā)展到坐標(biāo)幾何的地步。在歐洲，十四世紀(jì)奧爾斯姆的著作中已有關(guān)于經(jīng)緯度與函數(shù)圖形表示的萌芽。十七世紀(jì)笛卡爾提出了系統(tǒng)的把幾何事物用代數(shù)表示的方法及其應(yīng)用。在其啟迪之下，經(jīng)萊布尼茨、牛頓等的工作，發(fā)展成了現(xiàn)代形式的坐標(biāo)制解析幾何學(xué)，使數(shù)與形的統(tǒng)一更臻完美，不僅改變了幾何證題過去遵循歐幾里得幾何的老方法，還引起了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生，成為微積分學(xué)產(chǎn)生的根源。這是數(shù)學(xué)史上的一件大事。 在十七世紀(jì)中，由于科學(xué)與技術(shù)上的要求促使數(shù)學(xué)家們研究運(yùn)動(dòng)與變化，包括量的變化與形的變換(如投影)，還產(chǎn)生了函數(shù)概念和無窮小分析即現(xiàn)在的微積分，使數(shù)學(xué)從此進(jìn)入了一個(gè)研究變量的新時(shí)代。 十八世紀(jì)以來，以解析幾何與微積分這兩個(gè)有力工具的創(chuàng)立為契機(jī)，數(shù)學(xué)以空前的規(guī)模迅猛發(fā)展，出現(xiàn)了無數(shù)分支。由于自然界的客觀規(guī)律大多是以微分方程的形式表現(xiàn)的，所以微分方程的研究一開始就受到很大的重視。 微分幾何基本上與微積分同時(shí)誕生，高斯與黎曼的工作又產(chǎn)生了現(xiàn)代的微分幾何。19、20世紀(jì)之交，龐加萊創(chuàng)立了拓?fù)鋵W(xué)，開辟了對連續(xù)現(xiàn)象進(jìn)行定性與整體研究的途徑。對客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的分析，產(chǎn)生了概率論。第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要，以及大工業(yè)與管理的復(fù)雜化產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)論、控制論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科。實(shí)際問題要求具體的數(shù)值解答，產(chǎn)生了計(jì)算數(shù)學(xué)。選擇最優(yōu)途徑的要求又產(chǎn)生了各種優(yōu)化的理論、方法。 力學(xué)、物理學(xué)同數(shù)學(xué)的發(fā)展始終是互相影響互相促進(jìn)的，特別是相對論與量子力學(xué)推動(dòng)了微分幾何與泛函分析的成長。此外在19世紀(jì)還只用到一次方程的化學(xué)和幾乎與數(shù)學(xué)無緣的生物學(xué)，都已要用到最前沿的一些數(shù)學(xué)知識。 十九世紀(jì)后期，出現(xiàn)了集合論，還進(jìn)入了一個(gè)批判性的時(shí)代，由此推動(dòng)了數(shù)理邏輯的形成與發(fā)展，也產(chǎn)生了把數(shù)學(xué)看作是一個(gè)整體的各種思潮和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)派。特別是1900年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的關(guān)于當(dāng)代數(shù)學(xué)重要問題的演講，以及三十年代開拓的，以結(jié)構(gòu)概念統(tǒng)觀數(shù)學(xué)的法國布爾巴基學(xué)派的興起，對二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大、深遠(yuǎn)的影響，科學(xué)的數(shù)學(xué)化一語也開始為人們所樂道。 數(shù)學(xué)的外圍向自然科學(xué)、工程技術(shù)甚至社會(huì)科學(xué)中不斷滲透擴(kuò)大，并從中吸取營養(yǎng)，出現(xiàn)了一些邊緣數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)本身的內(nèi)部需要也孽生了不少新的理論與分支。同時(shí)其核心部分也在不斷鞏固提高并有時(shí)作適當(dāng)調(diào)整以適應(yīng)外部需要?？傊?，數(shù)學(xué)這棵大樹茁壯成長，既枝葉繁茂又根深蒂固。 在數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展過程中，數(shù)與形的概念不斷擴(kuò)大且日趨抽象化，以至于不再有任何原始計(jì)數(shù)與簡單圖形的蹤影。雖然如此，在新的數(shù)學(xué)分支中仍有著一些對象和運(yùn)算關(guān)系借助于幾何術(shù)語來表示。如把函數(shù)看成是某種空間的一個(gè)點(diǎn)之類。這種做法之所以行之有效，歸根結(jié)底還是因?yàn)閿?shù)學(xué)家們已經(jīng)熟悉了那種簡易的數(shù)學(xué)運(yùn)算與圖形關(guān)系，而后者又有著長期深厚的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。而且，即使是最原始的數(shù)字如1、2、3、4，以及幾何形象如點(diǎn)與直線，也已經(jīng)是經(jīng)過人們高度抽象化了的概念。因此如果把數(shù)與形作為廣義的抽象概念來理解，則前面提到的把數(shù)學(xué)作為研究數(shù)與形的科學(xué)這一定義，對于現(xiàn)階段的近代數(shù)學(xué)，也是適用的。 由于數(shù)學(xué)研究對象的數(shù)量關(guān)系與空間形式都來自現(xiàn)實(shí)世界，因而數(shù)學(xué)盡管在形式上具有高度的抽象性，而實(shí)質(zhì)上總是扎根于現(xiàn)實(shí)世界的。生活實(shí)踐與技術(shù)需要始終是數(shù)學(xué)的真正源泉，反過來，數(shù)學(xué)對改造世界的實(shí)踐又起著重要的、關(guān)鍵性的作用。理論上的豐富提高與應(yīng)用的廣泛深入在數(shù)學(xué)史上始終是相伴相生，相互促進(jìn)的。 但由于各民族各地區(qū)的客觀條件不同，數(shù)學(xué)的具體發(fā)展過程是有差異的。大體說來，古代中華民族以竹為籌，以籌運(yùn)算，自然地導(dǎo)致十進(jìn)位值制的產(chǎn)生。計(jì)算方法的優(yōu)越有助于對實(shí)際問題的具體解決。由此發(fā)展起來的數(shù)學(xué)形成了一個(gè)以構(gòu)造性、計(jì)算性、程序化與機(jī)械化為其特色，以從問題出發(fā)進(jìn)而解決問題為主要目標(biāo)的獨(dú)特體系。而在古希臘則著重思維，追求對宇宙的了解。由此發(fā)展成以抽象了的數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)及其相互間的邏輯依存關(guān)系為研究對象的公理化演繹體系。 中國的數(shù)學(xué)體系在宋元時(shí)期達(dá)到高峰以后，開始陷于停頓且?guī)字料?。而在歐洲，經(jīng)過文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)、宗教革命、資產(chǎn)階級革命等一系列的變革，導(dǎo)致了工業(yè)革命與技術(shù)革命。機(jī)器的使用，不論中外都由來已久。但在中國，則由于明初被帝王斥為奇技淫巧而受阻抑。 在歐洲，則由于工商業(yè)的發(fā)展與航海的刺激而得到發(fā)展，機(jī)器使人們從繁重的體力勞動(dòng)中解放出來，并引導(dǎo)到理論力學(xué)和一般的運(yùn)動(dòng)和變化的科學(xué)研究。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家都積極參與了這些變革以及相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的解決，產(chǎn)生了積極的效果。解析幾何與微積分的誕生，成為數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。17世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的飛躍，大體上可以看成是這些成果的延續(xù)與發(fā)展。 20世紀(jì)出現(xiàn)了各種嶄新的技術(shù)，產(chǎn)生了新的技術(shù)革命，特別是電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)又面臨了一個(gè)新的時(shí)代。這一時(shí)代的特點(diǎn)之一就是部分腦力勞動(dòng)的逐步機(jī)械化。與17世紀(jì)以來以圍繞連續(xù)、極限等概念為主導(dǎo)思想與方法的數(shù)學(xué)不同，由于計(jì)算機(jī)研制與應(yīng)用的需要，離散數(shù)學(xué)與組合數(shù)學(xué)開始受到重視。