初中是學(xué)生的關(guān)鍵期，很多孩子小學(xué)成績(jī)很好，一到初中就開始迷茫。

還有的孩子小學(xué)成績(jī)一般，初中突然開竅，此后一帆風(fēng)順。這里主要指的是數(shù)學(xué)成績(jī)，數(shù)學(xué)成績(jī)決定學(xué)業(yè)。幾何是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，學(xué)習(xí)方法比較典型，有代表性，前面的文章涉及的幾何知識(shí)較少，講解的學(xué)習(xí)方法較為粗略，下面就再詳細(xì)講解一下，根據(jù)前面講的方法，如何具體學(xué)習(xí)中學(xué)幾何知識(shí)。中學(xué)教材中的幾何學(xué)知識(shí)很凌亂，定義多，術(shù)語多，命題多，內(nèi)容也很分散，缺乏連貫性和邏輯性，很容易讓學(xué)生懵圈，下面我就幫大家整理一下知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)介紹如何學(xué)習(xí)。幾何是對(duì)現(xiàn)實(shí)中的形狀，位置和空間形式的抽象，忽略掉個(gè)性的差異，只關(guān)注最根本特征，是想象出來的完美空間。例如：從各種直的樹木，物體的棱線，抽象出直線概念。從計(jì)算土地的大小，抽象出平面的概念，從月亮和太陽(yáng)的形狀，抽象出圓和球的概念。只有抽象出來完美的形狀和空間形式，才能不受具體物體的個(gè)性差異的影響，研究出形狀和空間形式的特征和規(guī)律，然后把研究出來的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際場(chǎng)合，才能得到最精確的近似，如丈量土地大小，計(jì)算谷物的多少，比較大樹的高矮等。幾何學(xué)是典型的公理化理論，也是公理化思想的起源。通過最簡(jiǎn)單最基本的幾個(gè)命題推導(dǎo)出所有其他命題。我們所有的科學(xué)理論都要遵守這個(gè)原則，否則就不是科學(xué)，人腦很難學(xué)習(xí)和應(yīng)用。像中醫(yī)就不遵守這個(gè)原則，其知識(shí)是各種藥方的大雜燴，少許的理論是從陰陽(yáng)五行的推導(dǎo)，概念模糊，推導(dǎo)過程也不遵守最基本的邏輯要求，導(dǎo)致學(xué)習(xí)和應(yīng)用極其困難。公理化思想是科學(xué)的起源和基礎(chǔ)。只有把知識(shí)公理化，才能讓人腦學(xué)習(xí)和應(yīng)用，大雜燴式的知識(shí)只有少數(shù)記憶天才才能學(xué)會(huì)，也只有天才才能應(yīng)用。而公理化的知識(shí)大多數(shù)人都能學(xué)會(huì)，學(xué)習(xí)只需記憶少數(shù)命題和推導(dǎo)方法即可，應(yīng)用時(shí)也是得心應(yīng)手，針對(duì)具體問題，按固定的邏輯就能想到相應(yīng)的知識(shí)來解決。學(xué)習(xí)公理化知識(shí)的要點(diǎn)就是理解公理為什么是這幾個(gè)，體會(huì)這些公理的基本性，明確概念和定義的來源和明確含義，然后要自己推導(dǎo)一遍所有重要的定理，命題和公式，整理出整個(gè)知識(shí)體系，記牢重要的命題，在應(yīng)用時(shí)，簡(jiǎn)單的問題可以從最相關(guān)的定理或命題出發(fā)推導(dǎo)，難度大的問題可以從最基本的定理甚至公理出發(fā)推導(dǎo)。歐幾里得幾何學(xué)是最基礎(chǔ)的幾何知識(shí)，是從2個(gè)公理和5個(gè)公設(shè)推導(dǎo)出來的。同樣學(xué)習(xí)時(shí)，一定要花時(shí)間思考為什么5個(gè)公設(shè)成立，為什么這5個(gè)公設(shè)是最根本的命題，有沒有必要增加或減少一些。一定要花時(shí)間體會(huì)這些公理的基本性，有沒有可能從其他更顯而易見的命題推導(dǎo)出這5個(gè)公設(shè)。這是學(xué)習(xí)的第一步，然后就是從這個(gè)5個(gè)公設(shè)，明確各方向上的概念，定義和術(shù)語，自己把所有重要命題推導(dǎo)一遍或多遍，整理出整個(gè)知識(shí)體系，記牢最重要的命題和公式。應(yīng)用時(shí)，同樣是簡(jiǎn)單的問題從最相關(guān)的命題出發(fā)推導(dǎo)，復(fù)雜的從最基本的定理甚至公設(shè)出發(fā)推導(dǎo)。同時(shí)還要做到直觀理解。中學(xué)的幾何學(xué)知識(shí)比較基礎(chǔ)和簡(jiǎn)單，都可以從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中培養(yǎng)出的直覺去理解。直覺理解會(huì)讓知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用難度大幅降低，幅度沒有100倍，也有10倍以上的降低，而且還會(huì)讓你對(duì)知識(shí)感興趣，所以除非是極端抽象的高等數(shù)學(xué)，所有知識(shí)都要盡量直觀理解，實(shí)在不能直觀感受的也要找出類似的經(jīng)驗(yàn)去比喻。例如：三角形的3個(gè)邊長(zhǎng)知道了，通過經(jīng)驗(yàn)和直覺我們知道這個(gè)三角形就確定了，面積和每個(gè)角的度數(shù)肯定可以計(jì)算出來；四邊形的4個(gè)邊長(zhǎng)知道了，通過經(jīng)驗(yàn)和直覺，我們知道它依然可以壓縮和伸長(zhǎng)，所以面積和每個(gè)角的度數(shù)無法計(jì)算。針對(duì)直角三角形，如果兩條邊確定，直覺和經(jīng)驗(yàn)就能判斷面積和各個(gè)角度也確定，同樣如果知道兩條邊的比例，直覺也能判斷各個(gè)角度也確定。用這個(gè)直覺，就能很容易理解三角函數(shù)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)。下面我們大致過一下初中幾何學(xué)的主要知識(shí)點(diǎn)5個(gè)公設(shè)（公理）：

1. 任意兩個(gè)點(diǎn)可以通過一條直線連接。

2. 任意線段能無限延伸成一條直線。

3. 給定任意線段，可以以其一個(gè)端點(diǎn)作為圓心，該線段作為半徑作一個(gè)圓。

4. 所有直角都全等。

5. 若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則這兩條直線在這一邊必定相交初中教材中并不是從公理開始講的，而是從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中講，這是考慮初中生的理解度，但學(xué)到差不多的時(shí)候一定要從頭再捋捋。教材中的內(nèi)容有些混亂，東一榔頭西一棒，缺乏系統(tǒng)性和條理性，如果老師也沒有幫助學(xué)生定期整理知識(shí)體系，很多學(xué)生會(huì)越學(xué)越吃力。我們現(xiàn)在就從頭開始整理知識(shí)：體會(huì)下5個(gè)公理的基本性，是不是沒有更基礎(chǔ)的命題了。直觀掌握重要的概念和術(shù)語：點(diǎn)，線，直線，曲線，面，體，平行，角度，余角，互余，補(bǔ)角，互補(bǔ)等。點(diǎn)的移動(dòng)或集合形成線，線運(yùn)動(dòng)形成面，面運(yùn)動(dòng)形成體。角度是指兩條直線相交的情況，從重合到轉(zhuǎn)一圈再回復(fù)重合，沒有其他的情況。角度大小的規(guī)定有兩種：一圈360度，和2pi， 規(guī)定360度是為了12分之一周和六分之一周的情況，這兩個(gè)角的正弦和余弦函數(shù)值簡(jiǎn)單，兩個(gè)角度也很常用，如果用百分制就不能是整數(shù)了。規(guī)定一圈是2pi，是計(jì)算弧長(zhǎng)方便。從平行的定義，利用正向推理或反證法，就能推導(dǎo)出一系列關(guān)于平行的命題。如同位角相同，則平行，內(nèi)錯(cuò)角相同，則平行等等。這些命題都不需要記憶，知道推導(dǎo)過程，然后直覺感受下，然后應(yīng)用時(shí)就能得心應(yīng)手。垂直的情況也一樣，從垂直的定義， 自己推導(dǎo)一下重要的命題，直覺感受下即可，也不需要記憶。然后就是三角形的知識(shí)，自己推導(dǎo)一下重要的命題和公式，直覺感受下，是不是一定是這樣的。如三角形的內(nèi)角之和等于180度，中線一定相交于一點(diǎn)，角平分線一定相交于一點(diǎn)，中線交點(diǎn)是外接圓心，角平分線交點(diǎn)是內(nèi)切圓心。正弦定理，余弦定理等。容易推導(dǎo)的不需要記憶，隨時(shí)可以推導(dǎo)出來，推導(dǎo)稍微難的，公式復(fù)雜的而且重要的命題和公式要記憶下，如正弦定理公式和余弦定理公式。三角形知識(shí)最重要的知識(shí)點(diǎn)是勾股定律，一定要用多種方法親自推導(dǎo)下，記牢它。有了三角形的知識(shí)，就自然引出三角函數(shù)知識(shí)，不需要記憶，就記憶幾個(gè)術(shù)語和定義即可，最基礎(chǔ)的三角函數(shù)定義是直角三角形法，僅針對(duì)銳角的情況。直角坐標(biāo)系中定義和單位圓中定義，就把三角函數(shù)的應(yīng)用范圍擴(kuò)展到0 到360度的所有情況。學(xué)習(xí)和應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)時(shí)腦中要有這三種定義的圖像。上面過的是形狀和空間方面的知識(shí)，下面再過下幾何中大小方面的知識(shí)。長(zhǎng)短比較簡(jiǎn)單，唯一要記的是圓周長(zhǎng)的公式。覆蓋范圍大小的概念叫面積，面積的定義，是圖形圍住的范圍大小。根據(jù)完全覆蓋的圖形面積相等的公理，用小正方形作為單位，用多少個(gè)單位正方形表示面積大小。這樣就推導(dǎo)出了長(zhǎng)方形的面積公式，繼而推導(dǎo)平行四邊形面積公式，然后三角形面積公式，然后圓面積公式。自己要推導(dǎo)幾遍，然后記住公式，尤其是圓面積公式，推導(dǎo)稍微復(fù)雜，所以需要牢記。體積的知識(shí)也完全一樣，根據(jù)定義，然后推導(dǎo)公式。再體會(huì)下圖形相似的概念，相似是怎么定義的，是指邊長(zhǎng)的同比例放大或縮小，那么它們的面積的比值就是邊長(zhǎng)比例的平方了，體積就是邊長(zhǎng)比例的立方了。最后是學(xué)習(xí)直角坐標(biāo)系。坐標(biāo)系上的每個(gè)點(diǎn)的位置用垂線與軸相交的x,y數(shù)值對(duì)表示，這樣兩個(gè)未知數(shù)的方程就可以用坐標(biāo)系上的圖形來表示，這樣就實(shí)現(xiàn)了方程和圖形的等效變換。研究方程可以代替研究圖形，研究圖形同樣可以代替研究方程，求解一元方程可以轉(zhuǎn)化為圖形與x軸相交的情況，求解2元方程組就可以轉(zhuǎn)化為2個(gè)圖形相交的情況。要理解和記憶常用2元方程的圖形和性質(zhì)，常用圖形的二元方程形式和性質(zhì)，要取一系列點(diǎn)在坐標(biāo)系上畫圖形，記牢方程和圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最常見圖形的是直線，圓，橢圓，雙曲線，漸近線等，最常見的二元方程是：二元一次方程，二元二次方程，二元三次方程，三角函數(shù)方程，指數(shù)方程等。把方程寫成y = f(x)的形式，也叫函數(shù)，要重點(diǎn)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，理解并記牢它們的圖形特征，記牢單射函數(shù)，雙射函數(shù)，反函數(shù)，共軛函數(shù)等常用函數(shù)的的定義，理解函數(shù)的連續(xù)性，理解函數(shù)的求導(dǎo)就是線的斜率和切線，函數(shù)的積分就是曲線下方的面積。這樣就不自覺地學(xué)習(xí)到了大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容。就這樣從公理出發(fā)，從各個(gè)方向，逐漸推導(dǎo)和整理出幾何學(xué)的知識(shí)體系。學(xué)習(xí)新知識(shí)一段時(shí)間后，就要從頭再整理一遍，把新知識(shí)加入到體系中，所有概念，命題和知識(shí)點(diǎn)還要直觀理解，從經(jīng)驗(yàn)中體會(huì)到它們的正確性，不能直觀的，也要用類似經(jīng)驗(yàn)去比喻。通過這樣的方式學(xué)習(xí)，不但容易學(xué)，用時(shí)短，而且應(yīng)用時(shí)也能得心應(yīng)手，不需要大量刷題。而且一旦學(xué)會(huì)，終生受用。不會(huì)像大多數(shù)人那樣，一出校門，幾年內(nèi)就把知識(shí)還給老師。