一、實(shí)驗(yàn)幾何幾何學(xué)最早產(chǎn)生于對天空星體形狀、排列位置的觀察，產(chǎn)生于丈量土地、測量容積、制造器皿與繪制圖形等實(shí)踐活動的需要，人們在觀察、實(shí)踐、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上積累了豐富的幾何經(jīng)驗(yàn)，形成了一批粗略的概念，反映了某些經(jīng)驗(yàn)事實(shí)之間的聯(lián)系，形成了實(shí)驗(yàn)幾何。

我國古代、古埃及、古印度、巴比倫所研究的幾何，大體上就是實(shí)驗(yàn)幾何的內(nèi)容。例如，我國古代很早就發(fā)現(xiàn)了勾股定理和簡易測量知識，《墨經(jīng)》中載有“圜（圓），一中同長也”，“平（平行），同高也”，古印度人認(rèn)為“圓面積等于一個矩形的面積，而該矩形的底等于半個圓周，矩形的高等于圓的半徑”等等，都屬于實(shí)驗(yàn)幾何學(xué)的范疇。

二、理論幾何隨著古埃及、希臘之間貿(mào)易與文化的交流，埃及的幾何知識逐漸傳入古希臘。古希臘許多數(shù)學(xué)家，如泰勒斯（ Thales ）、畢達(dá)哥拉斯（ Pythagoras ）、柏拉圖（ Plato ）、歐幾里德（ Euclid ）等人都對幾何學(xué)的研究作出了重大貢獻(xiàn)。特別是柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入幾何學(xué)，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學(xué)的基礎(chǔ)，而后歐幾里德在前人已有幾何知識的基礎(chǔ)上，按照嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)編寫的《幾何原本》十三卷，奠定了理論幾何（又稱推理幾何、演繹幾何、公理幾何、歐氏幾何等）的基礎(chǔ)，成為歷史上久負(fù)盛名的巨著?！稁缀卧尽繁M管存在公理的不完整，論證有時求助于直觀等缺陷，但它集古代數(shù)學(xué)之大成，論證嚴(yán)密，影響深遠(yuǎn)，所運(yùn)用的公理化方法對以后數(shù)學(xué)的發(fā)展指出了方向，以至成為整個人類文明發(fā)展史上的里程碑，全人類文化遺產(chǎn)中的瑰寶。歐幾里得（公元前330年—公元前275年），古希臘人，數(shù)學(xué)家。他活躍于托勒密一世（公元前364年－公元前283年）時期的亞歷山大里亞，被稱為“幾何之父”，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，提出五大公設(shè)，歐幾里得幾何，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品。最早的幾何學(xué)興起于公元前7世紀(jì)的古埃及，后經(jīng)古希臘等人傳到古希臘的都城，又借畢達(dá)哥拉斯學(xué)派系統(tǒng)奠基。在歐幾里得以前，人們已經(jīng)積累了許多幾何學(xué)的知識，然而這些知識當(dāng)中，存在一個很大的缺點(diǎn)和不足，就是缺乏系統(tǒng)性。大多數(shù)是片斷、零碎的知識，公理與公理之間、證明與證明之間并沒有什么很強(qiáng)的聯(lián)系性，更不要說對公式和定理進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯論證和說明。因此，隨著社會經(jīng)濟(jì)的繁榮和發(fā)展，特別是隨著農(nóng)林畜牧業(yè)的發(fā)展、土地開發(fā)和利用的增多，把這些幾何學(xué)知識加以條理化和系統(tǒng)化，成為一整套可以自圓其說、前后貫通的知識體系，已經(jīng)是刻不容緩，成為科學(xué)進(jìn)步的大勢所趨。歐幾里得通過早期對柏拉圖數(shù)學(xué)思想，尤其是幾何學(xué)理論系統(tǒng)而周詳?shù)难芯?，已敏銳地察覺到了幾何學(xué)理論的發(fā)展趨勢。他下定決心，要在有生之年完成這一工作，成為幾何第一人。為了完成這一重任，歐幾里得不辭辛苦，長途跋涉，從愛琴海邊的雅典古城，來到尼羅河流域的埃及新埠—亞歷山大城，為的就是在這座新興的，但文化蘊(yùn)藏豐富的異域城市實(shí)現(xiàn)自己的初衷。在此地的無數(shù)個日日夜夜里，他一邊收集以往的數(shù)學(xué)專著和手稿，向有關(guān)學(xué)者請教，一邊試著著書立說，闡明自己對幾何學(xué)的理解，哪怕是尚膚淺的理解。經(jīng)過歐幾里得忘我的勞動，終于在公元前300年結(jié)出豐碩的果實(shí)，這就是幾經(jīng)易稿而最終定形的《幾何原本》一書。這是一部傳世之作，幾何學(xué)正是有了它，不僅第一次實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)化、條理化，而且又孕育出一個全新的研究領(lǐng)域——?dú)W幾里得幾何學(xué)，簡稱歐氏幾何。直到今天，他所創(chuàng)作的幾何原本仍然是世界各國學(xué)校里的必修課，從小學(xué)到初中、大學(xué)、再到現(xiàn)代高等學(xué)科都有他所創(chuàng)作的定律、理論和公式應(yīng)用。在柏拉圖學(xué)派晚期導(dǎo)師普羅克洛斯（約410～485）的《幾何學(xué)發(fā)展概要》中，就記載著這樣一則故事，說的是數(shù)學(xué)在歐幾里得的推動下，逐漸成為人們生活中的一個時髦話題(這與當(dāng)今社會截然相反)，以至于當(dāng)時亞里山大國王托勒密一世也想趕這一時髦，學(xué)點(diǎn)兒幾何學(xué)。雖然這位國王見多識廣，但歐氏幾何卻令他學(xué)的很吃力。于是，他問歐幾里得“學(xué)習(xí)幾何學(xué)有沒有什么捷徑可走？”，歐幾里得笑道：“抱歉，陛下!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)一切科學(xué)一樣，是沒有什么捷徑可走的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，人人都得獨(dú)立思考，就像種莊稼一樣，不耕耘是不會有收獲的。在這一方面，國王和普通老百姓是一樣的?！睆拇?“在幾何學(xué)里,沒有專為國王鋪設(shè)的大道?！边@句話成為千古傳誦的學(xué)習(xí)箴言。斯托貝烏斯（約500）記述了另一則故事,一位學(xué)生曾這樣問歐幾里得：“老師，學(xué)習(xí)幾何會使我得到什么好處？”歐幾里得思索了一下，請仆人拿點(diǎn)錢給這位學(xué)生。歐幾里得說：給他三個錢幣，因?yàn)樗朐趯W(xué)習(xí)中獲取實(shí)利。那時候，人們建造了高大的金字塔，可是誰也不知道金字塔究竟有多高。有人這么說：“要想測量金字塔的高度，比登天還難！”這話傳到歐幾里得耳朵里。他笑著告訴別人：“這有什么難的呢？當(dāng)你的影子跟你的身體一樣長的時候，你去量一下金字塔的影子有多長，那長度便等于金字塔的高度！”三、解析幾何勒內(nèi)·笛卡爾（1596.3.31-1650.2.11）是世界著名的法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父。他還是西方現(xiàn)代哲學(xué)思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者且提出了“普遍懷疑”的主張。黑格爾稱他為“現(xiàn)代哲學(xué)之父”。他的哲學(xué)思想深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂“歐陸理性主義”哲學(xué)?？胺Q17世紀(jì)的歐洲哲學(xué)界和科學(xué)界最有影響的巨匠之一，被譽(yù)為“近代科學(xué)的始祖”。公元 3 世紀(jì)，《幾何原本》的出現(xiàn)，為理論幾何奠定了基礎(chǔ)。與此同時，人們對圓錐曲線也作了一定研究，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的許多性質(zhì)。但在后來較長時間里，封建社會中的神學(xué)占有統(tǒng)治地位，科學(xué)得不到應(yīng)有的重視。直到15、16 世紀(jì)歐洲資本主義開始發(fā)展起來，隨著生產(chǎn)實(shí)際的需要，自然科學(xué)才得到迅速發(fā)展。法國笛卡爾在研究中發(fā)現(xiàn)，歐氏幾何過分依賴于圖形，而傳統(tǒng)的代數(shù)又完全受公式、法則所約束，他們認(rèn)為傳統(tǒng)的研究圓錐曲線的方法，只重視幾何方面，而忽略代數(shù)方面，竭力主張將幾何、代數(shù)結(jié)合起來取長補(bǔ)短，認(rèn)為這是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個新的途徑。在這樣的思想指導(dǎo)下，笛卡爾提出了平面坐標(biāo)系的概念，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)與數(shù)對的對應(yīng)，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數(shù)的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產(chǎn)生了。解析幾何學(xué)的出現(xiàn)，大大拓廣了幾何學(xué)的研究內(nèi)容，并且促進(jìn)了幾何學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。

18 、 19 世紀(jì)，由于工程、力學(xué)和大地測量等方面的需要，又進(jìn)一步產(chǎn)生了畫法幾何、射影幾何、仿射幾何和微分幾何等幾何學(xué)的分支。

四、現(xiàn)代幾何尼古拉斯·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基（1792.12.1—1856.2.24），俄羅斯數(shù)學(xué)家，非歐幾何的早期發(fā)現(xiàn)人之一。在初等幾何與解析幾何的發(fā)展過程中，人們不斷發(fā)現(xiàn)《幾何原本》在邏輯上不夠嚴(yán)密之處，并不斷地充實(shí)一些公理，特別是在嘗試用其他公理、公設(shè)證明第五公設(shè)“一條直線與另外兩條直線相交，同側(cè)的內(nèi)角和小于兩直角時，這兩條直線就在這一側(cè)相交”的失敗，促使人們重新考察幾何學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，并取得了兩方面的突出研究成果。一方面，從改變幾何的公理系統(tǒng)出發(fā)，即用和歐氏幾何第五公設(shè)相矛盾的命題來代替第五公設(shè)，從而導(dǎo)致幾何學(xué)研究對象的根本突破。俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基用“在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)可作兩條直線平行于已知直線”代替第五公設(shè)，由此導(dǎo)出了一系列新結(jié)論，如“三角形內(nèi)角和小于兩直角”、“不存在相似而不全等的三角形”等等，后人稱為羅氏幾何學(xué)（又稱雙曲幾何學(xué)）。波恩哈德·黎曼，德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對數(shù)學(xué)分析和微分幾何做出了重要貢獻(xiàn)，其中一些為廣義相對論的發(fā)展鋪平了道路。他的名字出現(xiàn)在黎曼ζ函數(shù)，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，黎曼思路回環(huán)矩陣和黎曼曲面中。他初次登臺作了題為"論作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè)"的演講，開創(chuàng)了黎曼幾何，并為愛因斯坦的廣義相對論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。德國數(shù)學(xué)家黎曼從另一角度，“在同一平面內(nèi)，過直線外任一點(diǎn)不存在直線平行于已知直線”代替第五公設(shè)，同樣導(dǎo)致了一系列新理論，如“三角形內(nèi)角和大于兩直角”、“所成三角形與球面三角形有相同面積公式”等，又得到另一種不同的幾何學(xué)，后人稱為黎氏幾何學(xué)（又稱橢圓幾何學(xué)）。習(xí)慣上，人們將羅氏幾何、黎氏幾何統(tǒng)稱為非歐幾何學(xué)。將歐氏幾何（又稱拋物幾何學(xué)）、羅氏幾何的公共部分統(tǒng)稱為絕對幾何學(xué)。另一方面，人們在對歐氏幾何公理系統(tǒng)的嚴(yán)格分析中，形成了公理法，并由德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在他所著《幾何基礎(chǔ)》中完善地建立起嚴(yán)格的公理體系，通常稱為希爾伯特公理體系，希爾伯特公理體系是完備的，即用純邏輯推理的方法，定能推演出系統(tǒng)嚴(yán)密的歐氏幾何學(xué)。但如果根據(jù)該公理體系，逐步推演出歐氏幾何中那些熟知的內(nèi)容，卻是一件相當(dāng)繁瑣的工作。