統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題,最頭痛啊~~ 自由度的概念（整理） 理論力學(xué)：確定物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱作物體的自由度，當(dāng)物體受到某些限制時(shí)——自由度減少。

一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間自由運(yùn)動(dòng)，它的位置由三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)就可以確定，所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有三個(gè)自由度。假如將質(zhì)點(diǎn)限制在一個(gè)平面或一個(gè)曲面上運(yùn)動(dòng)，它有兩個(gè)自由度。假如將質(zhì)點(diǎn)限制在一條直線或一條曲線上運(yùn)動(dòng)，它只有一個(gè)自由度。剛體在空間的運(yùn)動(dòng)既有平動(dòng)也有轉(zhuǎn)動(dòng)，其自由度有六個(gè)，即三個(gè)平動(dòng)自由度x、y、z和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度a、b、q。如果剛體運(yùn)動(dòng)存在某些限制條件，自由度會(huì)相應(yīng)減少。 熱力學(xué)中：分子運(yùn)動(dòng)自由度就是決定一個(gè)分子在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。 統(tǒng)計(jì)學(xué)中：在統(tǒng)計(jì)模型中，自由度指樣本中可以自由變動(dòng)的變量的個(gè)數(shù)，當(dāng)有約束條件時(shí)，自由度減少。自由度計(jì)算公式：自由度=樣本個(gè)數(shù)-樣本數(shù)據(jù)受約束條件的個(gè)數(shù)，即df = n - k（df自由度，n樣本個(gè)數(shù)，k約束條件個(gè)數(shù)） 我們當(dāng)然最關(guān)心的還是統(tǒng)計(jì)學(xué)里面的自由度的概念。這里自由度的概念是怎么來(lái)的呢？ 一些文獻(xiàn)的說(shuō)法也是林林總總。 金志成實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)書(shū)中的定義：能獨(dú)立變化的數(shù)據(jù)數(shù)目。只要有n-1個(gè)數(shù)確定，第n個(gè)值就確定了，它不能自由變化。所以自由度就是n-1。自由度表示的是一組數(shù)據(jù)可以自由表化的數(shù)量的多少。 通俗點(diǎn)說(shuō)，一個(gè)班上有50個(gè)人，我們知道他們語(yǔ)文成績(jī)平均分為80，現(xiàn)在只需要知道49個(gè)人的成績(jī)就能推斷出剩下那個(gè)人的成績(jī)。你可以隨便報(bào)出49個(gè)人的成績(jī)，但是最后一個(gè)人的你不能瞎說(shuō)，因?yàn)槠骄忠呀?jīng)固定下來(lái)了，自由度少一個(gè)了。 自由度的設(shè)定是出于這樣一個(gè)理由：在總體平均數(shù)未知時(shí)，用樣本平均數(shù)去計(jì)算離差會(huì)受到一個(gè)限制——要計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差就必須先知道樣本平均數(shù)，而樣本平均數(shù)和n都知道的情況下，數(shù)據(jù)的總和就是一個(gè)常數(shù)了。所以，“最后一個(gè)”樣本數(shù)據(jù)就不可以變了，因?yàn)樗亲儯偤途妥兞?，而這是不允許的。至于有的自由度是n－2什么的，都是同樣道理。 n-1是通常的計(jì)算方法，更準(zhǔn)確的講應(yīng)該是n-k，n表示“處理”的數(shù)量，k表示實(shí)際需要計(jì)算的參數(shù)的數(shù)量。如需要計(jì)算2個(gè)參數(shù)，則數(shù)據(jù)里只有n-2個(gè)數(shù)據(jù)可以自由變化。例如，一組數(shù)據(jù)，平均數(shù)一定，則這組數(shù)據(jù)有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由變化；如一組數(shù)據(jù)平均數(shù)一定，標(biāo)準(zhǔn)差也一定，則有n-2個(gè)數(shù)據(jù)可以自由變化。df=n-k的得出是需要大量的數(shù)理統(tǒng)計(jì)的證明的。太復(fù)雜的情況，就不討論了。