曼流形上的幾何學(xué)。

德國數(shù)學(xué)家G.F.B.黎曼19世紀(jì)中期提出的幾何學(xué)理論。

1854年黎曼在格丁根大學(xué)發(fā)表的題為《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》的就職演說，通常被認(rèn)為是黎曼幾何學(xué)的源頭。在這篇演說中，黎曼將曲面本身看成一個(gè)獨(dú)立的幾何實(shí)體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個(gè)幾何實(shí)體。他首先發(fā)展了空間的概念，提出了幾何學(xué)研究的對象應(yīng)是一種多重廣義量 ，空間中的點(diǎn)可用n個(gè)實(shí)數(shù)（x1，……，xn）作為坐標(biāo)來描述。這是現(xiàn)代n維微分流形的原始形式，為用抽象空間描述自然現(xiàn)象奠定了基礎(chǔ)。這種空間上的幾何學(xué)應(yīng)基于無限鄰近兩點(diǎn)（x1，x2，……xn）與（x1＋dx1，……xn＋dxn）之間的距離，用微分弧長度平方所確定的正定二次型理解度量。（gij）是由函數(shù)構(gòu)成的正定對稱矩陣。這便是黎曼度量。賦予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。黎曼認(rèn)識到度量只是加到流形上的一種結(jié)構(gòu)，并且在同一流形上可以有許多不同的度量。黎曼以前的數(shù)學(xué)家僅知道三維歐幾里得空間E3中的曲面S上存在誘導(dǎo)度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未認(rèn)識到S還可以有獨(dú)立于三維歐幾里得幾何賦予的度量結(jié)構(gòu)。黎曼意識到區(qū)分誘導(dǎo)度量和獨(dú)立的黎曼度量的重要性，從而擺脫了經(jīng)典微分幾何曲面論中局限于誘導(dǎo)度量的束縛，創(chuàng)立了黎曼幾何學(xué)，為近代數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展作出了杰出貢獻(xiàn)。黎曼幾何中的一個(gè)基本問題是微分形式的等價(jià)性問題。該問題大約在1869年前后由E.B.克里斯托費(fèi)爾和R.李普希茨等人解決。前者的解包含了以他的姓命名的兩類克里斯托費(fèi)爾記號和協(xié)變微分概念。在此基礎(chǔ)上G.里奇發(fā)展了張量分析方法，這在廣義相對論中起了基本數(shù)學(xué)工具的作用。他們進(jìn)一步發(fā)展了黎曼幾何學(xué)。但在黎曼所處的時(shí)代，李群以及拓?fù)鋵W(xué)還沒有發(fā)展起來，因此黎曼幾何只限于小范圍的理論。大約在1925年H.霍普夫才開始對黎曼空間的微分結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的關(guān)系進(jìn)行了研究。隨著微分流形精確概念的確立，特別是E.嘉當(dāng)在20世紀(jì)20年代開創(chuàng)并發(fā)展了外微分形式與活動(dòng)標(biāo)架法，建立了李群與黎曼幾何之間的聯(lián)系，從而為黎曼幾何的發(fā)展奠定重要基礎(chǔ)，并開辟了廣闊的園地，影響極其深遠(yuǎn)。并由此發(fā)展了線性聯(lián)絡(luò)及纖維叢的研究。

1915年，A.愛因斯坦運(yùn)用黎曼幾何和張量分析工具創(chuàng)立了新的引力理論——廣義相對論。使黎曼幾何（嚴(yán)格地說洛倫茨幾何）及其運(yùn)算方法（里奇算法）成為廣義相對論研究的有效數(shù)學(xué)工具。而相對論近年的發(fā)展則受到整體微分幾何的強(qiáng)烈影響。例如矢量叢和聯(lián)絡(luò)論構(gòu)成規(guī)范場（楊-米爾斯場）的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

1944年陳省身給出n維黎曼流形高斯-博內(nèi)公式的內(nèi)蘊(yùn)證明，以及他關(guān)于埃爾米特流形的示性類的研究，引進(jìn)了后來通稱的陳示性類，為大范圍微分幾何提供了不可缺少的工具并為復(fù)流形的微分幾何與拓?fù)溲芯块_創(chuàng)了先河。半個(gè)多世紀(jì)，黎曼幾何的研究從局部發(fā)展到整體，產(chǎn)生了許多深刻的結(jié)果。黎曼幾何與偏微分方程、多復(fù)變函數(shù)論、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)等學(xué)科互相滲透，相互影響，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)中有重大作用。