數(shù)學(xué)是最復(fù)雜的研究性學(xué)科之一，其研究的先修基礎(chǔ)要求很高，所以學(xué)習(xí)過程也非常需要技術(shù)性。
中國的數(shù)學(xué)教材多偏向于蘇聯(lián)風(fēng)格，不易讀，無形中提高了門檻。所以一個合適的教學(xué)體系和教材推薦對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。這份數(shù)學(xué)書單，是根據(jù)法國巴黎高等師范學(xué)校（數(shù)學(xué)最牛校，沒有之一）的指定教材及教授推薦給出，在保持了學(xué)術(shù)難度的情況下降低學(xué)習(xí)門檻。這套書目是這套教材構(gòu)成一個完整的數(shù)學(xué)教材體系，都是教得特別深入淺出的專著，特別適合自學(xué)提高。
以下是按照學(xué)習(xí)推薦進(jìn)度排序的，分本科生和研究生的課程。自學(xué)起點是高中畢業(yè)。數(shù)學(xué)本科：如果大家對微積分已經(jīng)可以定量算了（例如可以計算面積分），就請?zhí)^第一本，否則需要補(bǔ)充一下普通微積分的基礎(chǔ)?！禖alculus》(揭密系列書之一)這是絕對的入門書籍，基礎(chǔ)向。如果大家之前學(xué)過高數(shù)，就可以忽略這一本了。下面就開始嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練了：數(shù)學(xué)分析（一）（英文版）byApostol數(shù)學(xué)分析（二）（英文版）byApostol本書為美國大學(xué)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)分教材。數(shù)分是一切的基礎(chǔ)，沒有數(shù)分的底子，實變學(xué)十遍也沒用。可是很多人在初入數(shù)學(xué)殿堂就立志不做數(shù)學(xué)了，就是因為采用了蘇聯(lián)風(fēng)格的中文教材，實在悲劇。學(xué)數(shù)學(xué)本來就是一件快樂而清晰的事情，所以第一本至關(guān)重要。請看這本吧，看完之后你會發(fā)現(xiàn)中文數(shù)分教材很坑爹?！禠inear.Algebra.done.right》by Axler好書能讓人順理成章地領(lǐng)悟新概念，爛書能讓人放棄理想。這是一本中規(guī)中矩但清晰易讀的好書。薄薄兩百多頁，很快就能讀完。《All the Mathematics you missed but need to know》by Garrity校長建議大家學(xué)完數(shù)分和線代之后，不要直接開始學(xué)復(fù)變或者實變，可以先開始感受一下高級數(shù)學(xué)的美。這本書可以使讀者很容易看透其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。仿佛度假觀光一樣，舉重若輕地談了很多深刻的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，例如拓?fù)浜汀靶问?form)”。數(shù)學(xué)系的人，先讀點輕松的數(shù)學(xué)入門，日后在讀深入的著作將有高屋建瓴之效。有了一定的數(shù)學(xué)概念以后，再開始讀基礎(chǔ)向的書籍。分析類：對于實變和復(fù)變之爭的問題，校長認(rèn)為應(yīng)該先學(xué)復(fù)變。雖然復(fù)數(shù)域大家比較不熟悉，可是復(fù)數(shù)域的性質(zhì)比實數(shù)域要規(guī)整很多，一階可導(dǎo)，階階可導(dǎo)。這么完美的屬性在數(shù)學(xué)中可不多。學(xué)習(xí)應(yīng)該先學(xué)簡單的在學(xué)復(fù)雜的。復(fù)變和實變皆推薦Princeton大神Stein的著作《ComplexAnalysis》byEliasM. Stein, Rami Shakarchi實變《Real Analysis》by Elias M. Stein, Rami Shakarchi對于數(shù)學(xué)這種復(fù)雜度和抽象程度極高的學(xué)科，光看不行，必須有配套的習(xí)題作為質(zhì)量保證。推薦這本《A ComplexAnalysis Problem Book》。有了實變復(fù)變的分析學(xué)基礎(chǔ)后，看泛函分析將是如魚得水。泛函推薦兩本，第一本入門，第二本提高（建議在學(xué)完拓?fù)浜笤倏矗┑谝槐荆骸禙unctional Analysis》byPeter Lax第二本：《functioanl analysis》by.Walter.RudinRudin和物理中的Griffith一樣，Rudin在數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域所做的杰出工作可能并不廣為人知，但他的三本教科書被翻譯成多種語言版本，供世界各地的大學(xué)生使用。這是他的第三本也是最成功的一本分析學(xué)教材，獲得1993年美國數(shù)學(xué)會頒發(fā)的Leroy P.Steel獎。大家看完這一本，下一個該做的事情就是把中文版泛函分析教材燒了（當(dāng)然，中英互譯的附錄可以留下來背單詞用）。概率類：數(shù)學(xué)系的同學(xué)先通過工科概統(tǒng)有一個直觀的感受：（關(guān)于這一點，我想很多人都有類似的想法吧）《Foundamental of Probability and Statistics for engineers》by Soong在加強(qiáng)數(shù)學(xué)嚴(yán)密性訓(xùn)練：《Foundation of Modern Probability》by Kallenberg代數(shù)類：《A.first.course.in.abstract.algebra》by Rotman你會驚訝于，為什么對新手而言這么難的一門課能夠被他講得如此生動。你應(yīng)該知道看完它應(yīng)該做什么了吧？對的——燒中文書。另外說一句，群論的始祖伽羅華就出自巴黎高師。下面就進(jìn)入經(jīng)典的點集拓?fù)涞膶W(xué)習(xí)，點集拓?fù)渫扑]這本《Basic Topology》byArmstrong.當(dāng)然，既然已經(jīng)學(xué)過了分析和拓?fù)?，下一步學(xué)習(xí)流形就順理成章了。這本流形上的張量分析很好地介紹了廣義相對論中數(shù)學(xué)的應(yīng)用。作為本科生，了解一下未來各個方向的內(nèi)容至關(guān)重要?！禩ensoranalysis on Manifolds》學(xué)抽代和拓?fù)渫曛苯訉W(xué)代數(shù)拓?fù)?？其實沒必要，高師就是把代數(shù)拓?fù)浞旁谘芯可荒昙壍?。你可以先更好地理解一下群論中的Isomor phism和FreeGroup這個概念。感受一下應(yīng)用的美妙（當(dāng)然不是生活層面的應(yīng)用，而是稍微具象一些的數(shù)學(xué)理論，雖然knot theory本身也是研究生的一個細(xì)分的專業(yè)）推薦這本書：《Introductionto Knot Theory》CrowellFox最后你還需要補(bǔ)這兩本書就能夠本科數(shù)學(xué)畢業(yè)了?！禗ifferentialEquations, Dynamical Systems & A Introduction to Chaos》很好的微分方程入門，對理解nonlinear有奇效。洛倫茲吸引子的魅力也被充分展示?！禔n Introduction to Modern Mathematical Computing》by Borwein, Skerritt數(shù)學(xué)研究生：數(shù)學(xué)的領(lǐng)域眾多，但低年級的研究生入門課程的都必須掌握的。在這些的基礎(chǔ)上才有可能談及后期的研究。Hatcher的代數(shù)拓?fù)淇梢哉f成功地把這門課教得賞心悅目?！禔lgebraic.Topology》by A.Hatcher學(xué)研究生基礎(chǔ)課代數(shù)幾何之前要先學(xué)交換代數(shù)，推薦這本《交換代數(shù)六講》《Six Lectures on Commutative Algebra》by Elias《LecturesOn Algebraic Geometry I Sheaves, Cohomology》《Lectureson Algebraic Geometry II Basic Concepts, Coherent Cohomology, Curves and theirJacobians》在之前Manifold的張量分析基礎(chǔ)上，更好地理解黎曼面，這兩本套裝不可或缺?！禔nIntroduction To Lie Groups And Lie Algebras》by Kirillov連續(xù)群在數(shù)學(xué)和物理各領(lǐng)域的應(yīng)用極廣，這本李群和李代數(shù)是不可或缺的好書。有了以上基礎(chǔ)，可以看李群領(lǐng)域的Vinberg三卷套神書（好想吐槽，理論物理中也有Weinberg三卷套神書。。。難道叫berg的都是神？）Lie groups and algebraic groups I -A. L. Onishchik, E. B. VinbergLie groups and algebraic groups II -A. L. Onishchik, E. B. VinbergLie groups and algebraic groups III -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg最后研究生領(lǐng)域一本基礎(chǔ)讀物就是這本Operator Theory的書了Operator Algebras, Operator Theoryand Applications
