證明費(fèi)馬大定理（證明過(guò)程詳解）
已知：a^2+b^2=c^2
令c=b+k，k=1.2.3……，則a^2+b^2=(b+k)^2。
因?yàn)?，整?shù)c必然要比a與b都要大，而且至少要大于1，所以k=1.2.3……
設(shè)：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；
則a^2+b^2=c^2就可以寫成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3……
當(dāng)n=1時(shí)，e69da5e6ba90e799bee5baa6e997aee7ad9431333431373837d+h=p，d、h與p可以是任意整數(shù)。
當(dāng)n=2時(shí)，a=d，b=h，c=p，則d^2+h^2=p^2 => a^2+b^2=c^2。
當(dāng)n≥3時(shí)，a^2=d^n，b^2=h^n，c^2=p^n。
因?yàn)?，a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；要想保證d、h、p為整數(shù)，就必須保證a、b、c必須都是完全平方數(shù)。
∴a、b、c必須是整數(shù)的平方，才能使d、h、p在d^n+h^n=p^n公式中為整數(shù)。
假若d、h、p不能在公式中同時(shí)以整數(shù)的形式存在的話，則費(fèi)馬大定理成立。
設(shè)a=mk，則b=k(m^2-1)/2。
令m=k，則a=m^2，b=m(m^2-1)/2，令m/2=(m^2-1)，則b=(m/2)^2，c=(m/2)^2+m。
則a^2+b^2=c^2 => m^4+(m/2)^4=[(m/2)^2+m]^2=>m^2(2m^2-m-2)=0，m1=0（舍去），m2=(1±√17)/4（非整數(shù)）。
此外，當(dāng)m/2=(m^2-1)時(shí)，（也可以讓）b=(m^2-1)^2
則a^2+b^2=c^2 => m^4+(m^2-1)^4=[(m^2-1)^2+m]^2=> m(m^2-1)(2m^2-m-2)=0，m1=0，m2=±1，m3=(1±√17)/4。
驗(yàn)證：當(dāng)m=±1時(shí)，b=h^(n^2)=(m^2-1)^2=0；即a^2=c^2。與題要求不符。
假若d、h、p可以以整數(shù)的形式出現(xiàn)，說(shuō)明等式d^n+h^n=p^n成立，費(fèi)馬大定理不成立。否則，d^n+h^n≠p^n不等式成立，費(fèi)馬大定理成立。
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擴(kuò)展資料：
費(fèi)馬大定理，又被稱為“費(fèi)馬最后的定理”，由17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮耶·德·費(fèi)瑪提出。
他斷言當(dāng)整數(shù)n >2時(shí)，關(guān)于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒(méi)有正整數(shù)解。
德國(guó)佛爾夫斯克曾宣布以10萬(wàn)馬克作為獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給在他逝世后一百年內(nèi)，第一個(gè)證明該定理的人，吸引了不少人嘗試并遞交他們的“證明”。
被提出后，經(jīng)歷多人猜想辯證，歷經(jīng)三百多年的歷史，最終在1995年被英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯徹底證明。
大約1637年左右，法國(guó)學(xué)者費(fèi)馬在閱讀丟番圖《算術(shù)》拉丁文譯本時(shí)，曾在第11卷第8命題旁寫道。
“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和，或一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法 ，可惜這里空白的地方太小，寫不下?！?/p>
1753年瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉，在給哥德巴赫的信中說(shuō)，他證明了n=3時(shí)的費(fèi)馬猜想，1770年其證明發(fā)表在《代數(shù)指南》一書中，方法是“無(wú)限下降法”和形如
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數(shù)系的唯一因子分解定理，這一方法也被后人多次引用。
1816年巴黎科學(xué)院把費(fèi)馬猜想轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)化歸結(jié)為n是奇素?cái)?shù)的情況，認(rèn)為費(fèi)馬猜想應(yīng)該成立，并稱為為費(fèi)馬大定理（以區(qū)別費(fèi)馬關(guān)于同余的小定理），并為證明者設(shè)立大獎(jiǎng)和獎(jiǎng)?wù)拢M(fèi)馬大定理之謎從此進(jìn)一步風(fēng)靡全球。
費(fèi)馬自己證明了n=4的情形。
十九世紀(jì)初法國(guó)自學(xué)成才的女?dāng)?shù)學(xué)家熱爾曼證明了當(dāng)n和2n+1都是素?cái)?shù)時(shí)費(fèi)馬大定理的反例x，y，z至少有一個(gè)是n整倍數(shù)。在此基礎(chǔ)上，1825年德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷和法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德分別獨(dú)立證明費(fèi)馬大定理在n=5時(shí)成立，用的是歐拉所用方法的延伸，但避開(kāi)了唯一因子分解定理。
1839年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉梅對(duì)熱爾曼方法作了進(jìn)一步改進(jìn)，并證明了n=7的情形，他的證明使用了跟7本身結(jié)合得很緊密的巧妙工具，只是難以推廣到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圓整數(shù)”法來(lái)證明，但沒(méi)有成功。
1844年，庫(kù)默爾提出了“理想數(shù)”概念，他證明了：對(duì)于所有小于100的素指數(shù)n，費(fèi)馬大定理成立，此一研究告一階段。但對(duì)一般情況，在猜想提出的頭二百年內(nèi)數(shù)學(xué)家們?nèi)詫?duì)費(fèi)馬大定理一籌莫展。
1847年，巴黎科學(xué)院上演戲劇性一幕， 當(dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家拉梅和柯西先后宣布自己基本證明費(fèi)馬大定理，拉梅還聲稱證明引用了劉維爾復(fù)數(shù)系中的唯一因子分解定理，劉維爾則說(shuō)這一定理源自歐拉和高斯的思想。
大數(shù)學(xué)家都被扯入其中，似乎結(jié)論十分可靠。就在此時(shí)劉維爾宣讀了德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柕膩?lái)信，明確指出證明中的復(fù)數(shù)系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅和柯西的證明都是錯(cuò)的。
大約在1850年前后，高斯的學(xué)生、德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柨吹轿ㄒ灰蜃臃纸馐欠癯闪⑹菤W拉、熱爾曼創(chuàng)立的企圖證明費(fèi)馬大定理的方法關(guān)鍵，于是他創(chuàng)立了一種“理想數(shù)環(huán)”理論，據(jù)說(shuō)這一思想也受其老師高斯啟發(fā)，高斯表面上聲稱對(duì)費(fèi)馬大定理不感興趣，實(shí)際上對(duì)n=7久思不解。
學(xué)生庫(kù)默爾運(yùn)用獨(dú)創(chuàng)的“理想素?cái)?shù)”理論，一下子證明了100以內(nèi)除37、59、67以外的所有奇數(shù)費(fèi)馬大定理都成立，使證明問(wèn)題取得了第一次重大突破。
庫(kù)默爾之后近半個(gè)世紀(jì)，費(fèi)馬大定理證明都停滯不前，直到二十世紀(jì)前期大數(shù)學(xué)家勒貝格向巴黎科學(xué)院提交了一個(gè)費(fèi)馬大定理的證明論稿，由于勒貝格當(dāng)時(shí)的權(quán)威聲望，大家都以為這下問(wèn)題解決了，但經(jīng)過(guò)廣泛傳閱其證明稿件，人們遺憾地發(fā)現(xiàn)大數(shù)學(xué)家的分析證明還是錯(cuò)的。
