高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析、空間解析幾何一起，并稱為數(shù)學(xué)系本科生的三大基礎(chǔ)課。

所謂基礎(chǔ)課，顧名思義，就是本科四年學(xué)習(xí)的所有數(shù)學(xué)課程，都是以上述三門課作為基礎(chǔ)的。因此對(duì)一年級(jí)新生而言，學(xué)好這三門基礎(chǔ)課，其重要性不言而喻。另一方面，從高中階段的“初等數(shù)學(xué)”過(guò)渡到大學(xué)階段的“高等數(shù)學(xué)”，中間需要一個(gè)思維轉(zhuǎn)變和理解進(jìn)階的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程延續(xù)的時(shí)間可長(zhǎng)可短，完全取決于個(gè)人的能力和努力。因此，如何通過(guò)學(xué)好這三門基礎(chǔ)課，盡快跨越這個(gè)轉(zhuǎn)變過(guò)程，對(duì)一年級(jí)新生而言，其意思更加重大。本人從2009年2月至2010年1月?lián)胃叩却鷶?shù)習(xí)題課教師，2010年2月開(kāi)始擔(dān)任高等代數(shù)主講教師，至今已有2年半的時(shí)間。在本文中，我將通過(guò)自己在教學(xué)中的切身體會(huì)，與大家分享學(xué)好高等代數(shù)的一些經(jīng)驗(yàn)和方法。一、將三門基礎(chǔ)課作為一個(gè)整體去學(xué)，摒棄孤立的學(xué)習(xí)，提倡綜合的思考恩格斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的科學(xué)?！边@位先哲對(duì)數(shù)學(xué)的這一概括，從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展來(lái)看，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠準(zhǔn)確了，但這一概括卻點(diǎn)明了數(shù)學(xué)最本質(zhì)的研究對(duì)象，即為“數(shù)”與“形”。比如說(shuō)，從“數(shù)”的研究衍生出數(shù)論、代數(shù)、函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)分支；從“形”的研究衍生出幾何、拓?fù)涞葦?shù)學(xué)分支。

20世紀(jì)以來(lái)，這些傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分支相互滲透、相互交叉，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)最前沿的研究方向，比如說(shuō)，代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)幾何、微分幾何、代數(shù)拓?fù)?、微分拓?fù)涞鹊取？梢哉f(shuō)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)正朝著各種數(shù)學(xué)分支相互融合的方向繼續(xù)蓬勃地發(fā)展下去。數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、空間解析幾何這三門基礎(chǔ)課，恰好是數(shù)學(xué)最重要的三個(gè)分支--分析、代數(shù)、幾何的最重要的基礎(chǔ)課程。根據(jù)課程的特點(diǎn)，每門課程的學(xué)習(xí)方法當(dāng)然各不相同，但是如果不能以一種整體的眼光去學(xué)習(xí)和思考，即使每門課都得了A，也不見(jiàn)得就學(xué)的很好。學(xué)院的資深教授曾向我們抱怨：“有的問(wèn)題只要畫個(gè)圖，想一想就做出來(lái)了，怎么現(xiàn)在的學(xué)生做題，拿來(lái)就只知道死算，連個(gè)圖也不畫一下?！碑?dāng)然，造成這種不足的原因肯定是多方面的。比如說(shuō)，從教的角度來(lái)看，各門課程的教材或授課在某種程度上過(guò)于強(qiáng)調(diào)自身的特點(diǎn)，很少以整體的眼光去講授課程或處理問(wèn)題，課程之間的相互聯(lián)系也涉及的較少；從學(xué)的角度來(lái)看，學(xué)生們大都處于孤立學(xué)習(xí)的狀態(tài)，也就是說(shuō)，孤立在某門課程中學(xué)習(xí)這門課程，缺乏對(duì)多門課程的整體把握和綜合思考。根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn)，將高等代數(shù)和空間解析幾何作為一個(gè)整體去學(xué)，效果肯定比單獨(dú)學(xué)好，因?yàn)楦叩却鷶?shù)中最核心的概念是“線性空間”，這是一個(gè)幾何對(duì)象；而且高等代數(shù)中的很多內(nèi)容都是空間解析幾何自然的延續(xù)和推廣。另外，高等代數(shù)中還有很多分析方面的技巧，比如說(shuō)“攝動(dòng)法”，它是一種分析的方法，可以讓我們把問(wèn)題從一般矩陣化到非異矩陣的情形。因此，要學(xué)好高等代數(shù)，首先要跳出高等代數(shù)，將三門基礎(chǔ)課作為一個(gè)整體去學(xué)，摒棄孤立的學(xué)習(xí)，提倡綜合的思考。

二、正確認(rèn)識(shí)代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，在抽象和具體之間找到結(jié)合點(diǎn)代數(shù)學(xué)（包括高等代數(shù)和抽象代數(shù)）給人的印象就是“抽象”，這與另外兩門基礎(chǔ)課有很大的不同。以“線性空間”的定義為例，集合V上定義了加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算，并且這兩種運(yùn)算滿足八條性質(zhì)，那么V就稱為線性空間。我想第一次學(xué)高等代數(shù)的同學(xué)都會(huì)認(rèn)為這個(gè)定義太抽象了。其實(shí)在高等代數(shù)中，這樣抽象的定義比比皆是。不過(guò)這樣的抽象是有意義的，因?yàn)槲覀兛梢则?yàn)證三維歐氏空間、連續(xù)函數(shù)全體、多項(xiàng)式全體、矩陣全體都是線性空間，也就是說(shuō)，線性空間是從許多具體例子中抽象出來(lái)的概念，具有絕對(duì)的一般性。代數(shù)學(xué)的研究方法是，從許多具體的例子中抽象出某個(gè)概念；然后通過(guò)代數(shù)的方法對(duì)這一概念進(jìn)行研究，得到一般的結(jié)論；最后再將這些結(jié)論返回到具體的例子中，得到各種運(yùn)用。因此，“具體-->抽象-->具體”，這便是代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。在認(rèn)識(shí)了代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)后，就可以有的放矢地學(xué)習(xí)高等代數(shù)了。我們可以通過(guò)具體的例子去理解抽象的定義和證明；我們可以將定理的結(jié)論運(yùn)用到具體的例子中，從而加深對(duì)定理的理解和掌握；我們還可以通過(guò)具體例子的啟發(fā)，去發(fā)現(xiàn)和證明一些新的結(jié)果。因此，要學(xué)好高等代數(shù)，就需要正確認(rèn)識(shí)抽象和具體的辯證關(guān)系，在抽象和具體之間找到結(jié)合點(diǎn)。

三、高等代數(shù)不僅要學(xué)代數(shù)，也要學(xué)幾何，更要在代數(shù)和幾何之間建立一座橋梁隨著時(shí)代的變遷，高等代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容和方式也在不斷的發(fā)展。大概在90年代之前，國(guó)內(nèi)高校的高等代數(shù)教材大多以“矩陣論”作為中心，比較強(qiáng)調(diào)矩陣論的相關(guān)技巧；90年代之后，國(guó)內(nèi)高校的高等代數(shù)教材漸漸地改變?yōu)橐浴熬€性空間理論”作為中心，比較強(qiáng)調(diào)幾何的意義。作為縮影，復(fù)旦的高等代數(shù)教材也經(jīng)歷了這樣一個(gè)變化過(guò)程，1993年之前采用的屠伯塤老師的教材強(qiáng)調(diào)“矩陣論”；1993年之后采用的姚慕生老師的教材強(qiáng)調(diào)“線性空間理論”。從單純重視“代數(shù)”到“代數(shù)”與“幾何”并重，這其實(shí)是高等代數(shù)教學(xué)觀念的一種全球性的改變，可能這種改變與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展密切相關(guān)吧！學(xué)好高等代數(shù)的有效方法應(yīng)該是：深入理解幾何意義、熟練掌握代數(shù)方法。首先，高等代數(shù)中許多抽象的概念都有具體的幾何背景。因此，理解幾何意義、利用幾何直觀，將有助于我們更好的理解高等代數(shù)中抽象的定義和定理。比如說(shuō)，當(dāng)面對(duì)“行列式”、“矩陣”和“線性方程組的解”等代數(shù)概念的時(shí)候，我們應(yīng)該好好想一想，它們的幾何意義究竟是什么呢？其次，高等代數(shù)中很多問(wèn)題都是幾何的問(wèn)題，我們經(jīng)常將幾何的問(wèn)題代數(shù)化，然后用代數(shù)的方法去解決它。當(dāng)然，對(duì)于一些代數(shù)的問(wèn)題，我們有時(shí)也將其幾何化，然后用幾何的方法去解決它。最后，代數(shù)和幾何之間存在一座橋梁，這就是代數(shù)和幾何之間的轉(zhuǎn)換語(yǔ)言。有了這座橋梁，我們就可以在代數(shù)和幾何之間來(lái)去自由、游刃有余。因此，要學(xué)好高等代數(shù)，不僅要學(xué)代數(shù)，也要學(xué)幾何，更要在代數(shù)和幾何之間建立一座橋梁。

四、學(xué)好教材，用好教參，練好基本功復(fù)旦現(xiàn)行的高等代數(shù)教材是姚慕生老師、吳泉水老師編著的《高等代數(shù)學(xué)（第二版）》。這本教材從1993年開(kāi)始沿用至今，已有近20年的歷史。教材內(nèi)容翔實(shí)、重點(diǎn)突出、表述清晰、習(xí)題豐富，即使與全國(guó)各高校的高等代數(shù)教材相比，也不失為出類拔萃之作。