學習VCE課程的小伙伴會了解，VCE數(shù)學有好幾種不同的科目，包括普通數(shù)學、數(shù)學方法、專業(yè)數(shù)學等等，每門課程的難度也有所不同，今天留求藝留學主要為大家介紹一下難度比較高的VCE專業(yè)數(shù)學，來看看這門課程主要學什么內(nèi)容！
VCE專業(yè)數(shù)學課程共有四個單元
第一單元：
研究領域1：代數(shù)、數(shù)和結(jié)構
1、證明和數(shù)字
●自然數(shù)、N、整數(shù)、Z、有理數(shù)、Q、實數(shù)、R和復數(shù)、C的數(shù)字系統(tǒng)及其基本性質(zhì)和結(jié)構
●集合符號和運算，包括元素、交集、并集、補子集和冪集素數(shù)，算術基本定理，以及有無限多個素數(shù)的證明
●有理數(shù)的分數(shù)和十進制形式之間的轉(zhuǎn)換
●介紹證明原理，包括命題和量詞，例子和反例子，直接證明，反證法證明，以及使用反命題和數(shù)學歸納法的證明
●簡單的證明，例如可整除性、序列和級數(shù)、不等式和無理性。
2、圖論
●無向圖的頂點和邊，包括多條邊和環(huán)，以及它們用列表、圖表和鄰接矩陣的表示
●從分子結(jié)構、電路、社會網(wǎng)絡、公用事業(yè)連接等一系列上下文中選擇圖形示例，并使用它們來討論圖論中的問題類型，包括存在問題、構造問題、計數(shù)問題和優(yōu)化問題
●頂點的度數(shù)以及所有頂點度數(shù)之和等于邊數(shù)兩倍的結(jié)果(握手引理)
●簡單圖，同構，子圖，連通性，完全圖和圖的補圖
●二部圖、樹和正則圖(包括柏拉圖圖)平面圖以及相關的證明和應用。
●n頂點簡單圖是樹的等價條件
●軌跡和回路，歐拉回路和歐拉軌跡，哈密頓回路和路徑，以及哥尼斯堡橋問題。
3、邏輯和算法
●命題、連接詞、真值、真值表和卡諾圖
●布爾代數(shù)
●二進制數(shù)字系統(tǒng)
●重言式、有效性和證明模式以及它們在自然語言證明中的應用，布爾代數(shù)、集合代數(shù)和命題代數(shù)的規(guī)律和性質(zhì)
●邏輯門和電路，以及電路的簡化
●算法的定義和描述算法所需的基本結(jié)構:序列、決策(選擇、選擇、if...然后...塊)和重復(迭代和循環(huán))
●使用偽代碼構建和實現(xiàn)包含基本結(jié)構的基本算法。
研究領域2：離散數(shù)學
1、序列與級數(shù)
●數(shù)列、等差數(shù)列、幾何數(shù)列及其部分和的定義
●幾何數(shù)列中項的極限行為以及對公比值的依賴
●由遞歸生成的序列
●解常系數(shù)形式的一階線性遞歸關系及其在金融問題和人口建模中的應用。
2、組合
●鴿子洞原理及其在解決問題和證明結(jié)果中的應用
●兩集并集和三集并集的包容-排斥原則
●排列和組合及其在解決涉及有或沒有重復元素的安排和選擇的問題中的應用
●簡單組合恒等式的推導和應用。
3、矩陣
●矩陣符號，維度和使用矩陣來表示數(shù)據(jù)
●矩陣運算和代數(shù)
●行列式和矩陣方程，以及簡單的應用。
第二單元
研究領域1：數(shù)據(jù)分析、概率和統(tǒng)計
1、模擬，抽樣和抽樣分布
離散隨機變量和的分布
●離散隨機變量X的均值、方差和標準差
●同分布獨立離散隨機變量的和的分布
●2X的分布比較，其中X是一個離散隨機變量和兩個獨立的離散隨機變量的和，每個變量的分布都與X相同。
模擬
●隨機實驗、事件和事件空間
●利用模擬生成隨機樣本。
抽樣分布
●總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量的區(qū)別以及樣本統(tǒng)計量的使用
●(樣本均值)作為相關總體參數(shù)(均值)的估計值
●抽樣分布的概念
●根據(jù)經(jīng)驗考慮的樣本均值分布，包括比較來自同一總體的不同大小樣本在中心和分布方面的分布
●通過點圖和其他顯示顯示樣本均值的變化，并考慮這些分布的中心和擴散
●考慮樣本均值分布的均值和標準差以及取大樣本的影響。
研究領域2：空間和測量
1、三角法
●弧度、弧長、扇形和扇形
●適用于二維和三維情況的正弦法則和余弦法則，包括涉及平面之間角度的問題
●正弦、余弦和正切的復角和倍角公式及恒等式:sec2(x) =1 + tan2(x)和cosec2(x) =1 +cot2(x)
●asin (x) + bcos (x)與r sin (x a)或rcos (x a)之間的恒等式的證明和應用，其中a在第一象限中，正弦和余弦的乘積表示為和與差，正弦和余弦的加法和差表示為乘積。
2、轉(zhuǎn)換
●平面上的點、坐標及其表示為2 × 1矩陣(列向量)
●平面T(x，y) → (x + a，y + b)的平移
●平面T(x，y) → (ax + by，cx + dy)和T(5)=(a ^ 2)(y)的線性變換
●平面到自身的旋轉(zhuǎn)、圍繞原點的旋轉(zhuǎn)和穿過原點的直線上的反射、平移的效果、線性變換及其逆變換，以及這些變換在平面子集上的合成，例如點、線、形狀以及函數(shù)和關系的圖形
●變換下性質(zhì)的不變性，以及變換矩陣的行列式與線性變換對平面有界區(qū)域面積的影響之間的關系。
3、平面中的向量
●平面向量表示為有向線段、平面向量的大小和方向以及單位向量。
●加法、減法(三角形和/或平行四邊形法則)、向量的標量倍數(shù)和平面向量的線性組合的幾何表示
●兩個平面向量的標量(點)積，垂直和平行向量，一個向量到另一個向量的投影，以及兩個向量之間的角度用向量證明幾何
●矢量在位移、速度、合成速度、相對速度、靜力學和恒力作用下的運動中的應用。
研究領域3：代數(shù)、數(shù)和結(jié)構
1、復數(shù)
●復數(shù)的定義和性質(zhì)，C，算術，復數(shù)的模數(shù)，以及復數(shù)在阿甘圖中的表示C上一元二次方程(實系數(shù))的通解和共軛根
●直線、射線、圓和橢圓
●使用上述復數(shù)的模和非零復數(shù)的自變量的組合來證明基本恒等式的復平面中定義的區(qū)域
●復數(shù)的笛卡爾形式和極坐標形式之間的轉(zhuǎn)換
●極坐標形式的復數(shù)的乘、除和冪及其幾何解釋。
研究領域4：函數(shù)、關系和圖形
●多項式系數(shù)相等的恒等式，有理函數(shù)及其分解成帶分母的部分分式，分母表示為線性和不可約二次項的乘積。
●簡單倒數(shù)函數(shù)的圖形，包括倒數(shù)圓函數(shù)余切、正割和余切的圖形，以及它們的簡單變換
●主域上的正弦、余弦和正切的受限圓函數(shù)的圖形，以及它們各自的反函數(shù)sin-1、cos-1和tan-1(學生應該熟悉替代符號，arcsin、arccos和arctan)，以及這些圖形的簡單變換
●直線、拋物線、圓、橢圓和雙曲線及其笛卡兒、極坐標和參數(shù)形式和圖形平面上的軌跡
●定義和構造絕對值函數(shù)、其圖形及其圖形的簡單變換。
第三&第四單元
研究領域1：離散數(shù)學
1、邏輯和證明
●猜想——做出一個有待證明或反駁的陳述
●蘊涵、等價和如果且僅如果陳述(必要和充分條件)自然演繹和證明技術
●使用一系列直接蘊涵的直接證明、案例證明、矛盾證明和反命題證明
●量詞“對于一切”和“存在”，例子和反例。
●用數(shù)學歸納法證明
研究領域2：函數(shù)、關系和圖形
●有理函數(shù)和低次有理函數(shù)的部分分式和表示
●低次有理函數(shù)的圖形，它們的漸近行為，以及駐點和拐點的性質(zhì)和位置
●簡單商函數(shù)的圖形，它們的漸近行為，以及駐點和拐點的性質(zhì)和位置。
研究領域3：代數(shù)、數(shù)和結(jié)構
1、復數(shù)
●德莫維爾定理、整數(shù)冪的證明、極坐標形式的復數(shù)的冪和根，以及它們的幾何表示和解釋
●單位和其他復數(shù)的n次根及其在復平面中的位置
●多項式的C上的因子；以及代數(shù)基本定理的介紹，包括它在C(例如z8+1，z2 -i或z3-(2-i)z2+ z-2+ i)上單變量多項式函數(shù)的因式分解中的應用。
●通過完成平方，使用二次因式分解和共軛根定理求解C上的多項式方程。
研究領域4：微積分
1、微積分和積分學
●函數(shù)的圖形與其反導函數(shù)的圖形之間的關系
●逆圓函數(shù)的導數(shù)
●鏈式法則在相關變化率和隱式微分中的應用:例如，關系x2 +y2 =9，3xy2 = x + y和x sin(y) +x2cos (y) =1的隱式微分
●反微分技術和定積分的計算:
●使用技術的數(shù)字和符號集成
●積分的應用、由曲線限定的區(qū)域面積、由參數(shù)確定的曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)實體的表面積、繞任一坐標軸旋轉(zhuǎn)的區(qū)域的體積
2、微分方程
●在化學、生物學和經(jīng)濟學等領域中，在涉及速率的情況下(包括一些不需要解析解但可以使用技術數(shù)值求解的微分方程)微分方程的公式邏輯微分方程
●用方向(斜率)場驗證微分方程的解及其表示
●形式的簡單微分方程的解
●歐拉方法的數(shù)值解(一級近似)。
3、運動學:直線運動
●用速度-時間圖描述和分析直線運動
●微分方程的微分、反微分和求解在直線運動中的應用
研究領域5：空間和測量
1、向量
?向量的加減運算，以及向量與標量的相乘，即位置向量
?一組向量的線性依賴性和獨立性以及幾何解釋
?一個矢量的大小，單位矢量，正交單位矢量
?將矢量分解為矩形分量
?兩個向量的標量(點)積，對向量系進行點積的推導，并用它來求標量剛角和向量剛角
?兩個向量在三維空間中的向量(叉)積，包括行列式
?平行和垂直向量
?簡單幾何結(jié)果的向量證明，如“菱形的對角線是垂直的”、“三角形的中值是共線的”、“圓中直徑的夾角是直角”。
2、矢量和笛卡爾方程
?涉及一個參數(shù)的二維或三維曲線的矢量方程和參數(shù)方程(以及二維情況下對應的笛卡爾方程)
?給定兩點位置的直線矢量方程，或二維和三維的等效信息
?向量叉積，法向平面和向量，平面的參數(shù)方程和笛卡爾方程。
3、向量微積分
?位置矢量作為時間的函數(shù)，并繪制給定函數(shù)的相應路徑，包括笛卡爾或參數(shù)形式的圓，橢圓和雙曲線
?兩個粒子的位置，每個粒子都被描述為時間的矢量函數(shù)，以及它們的路徑是否相交或是否相遇
?矢量函數(shù)關于時間的微分和反微分，以及將矢量微積分應用于平面和三維運動。
研究領域6：數(shù)據(jù)分析、概率和統(tǒng)計
1、隨機變量線性組合的分布
?對于具有均值和方差的獨立同分布隨機變量:
?對于獨立隨機變量和實數(shù):
?對于正態(tài)分布的獨立隨機變量和實數(shù)，隨機變量也是正態(tài)分布的。
2、樣本均值的分布
?樣本均值作為隨機變量的概念，其值在樣本之間變化
?隨機變量有均值和標準差嗎
?模擬重復隨機抽樣，從各種分布和樣本量范圍，
?為了說明固定大小的樣本分布的性質(zhì)，包括其平均值，標準差(其中和分別是平均值和標準差)及其近似正態(tài)性，如果是大的。
3、總體均值的置信區(qū)間
?均值置信區(qū)間的確定和使用模擬來說明樣本間置信區(qū)間的變化，并表明置信區(qū)間包含的可能性取決于確定區(qū)間時所選擇的置信水平
?近似置信區(qū)間的構造，其中為總體標準差，是標準正態(tài)分布的適當分位數(shù);或近似置信區(qū)間的構造;其中為樣本標準差，是標準正態(tài)分布的適當分位數(shù)，并且較大(在許多實際情況下≥30)。
4、從方差已知的正態(tài)分布或大樣本中抽取樣本，對總體均值進行假設檢驗
?零假設、替代假設、檢驗統(tǒng)計量的概念
?顯著性和價值水平
?根據(jù)下列因素提出假設并作出關于總體平均值的決定:
?方差已知的正態(tài)總體中的隨機樣本
?從任何人口中抽取的大量隨機樣本
?單尾和雙尾試驗
?在問題的背景下解釋假設檢驗的結(jié)果
?假設檢驗，根據(jù)條件概率將公式、行為、錯誤和結(jié)果聯(lián)系起來。
