-1,2,-1/3,1/4,5,6,-1/7,-1/8,有理數(shù)（rationalnumber)讀音:(yǒulǐshù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，任何一個有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)m（m，n都是整數(shù)，且n≠0）的形式。

任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示。無限不循環(huán)小數(shù)和開平方開不盡的數(shù)開方根叫作無理數(shù),比如π，3.1415926535897932384626......而有理數(shù)恰恰與它相反,整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)其中包括整數(shù)和通常所說的分?jǐn)?shù)，此分?jǐn)?shù)亦可表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。這一定義在數(shù)的十進(jìn)制和其他進(jìn)位制（如二進(jìn)制）下都適用。數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是一個整數(shù)a和一個非零整數(shù)b的比(ratio)，通常寫作a/b，故又稱作分?jǐn)?shù)。希臘文稱為λογο，原意為“成比例的數(shù)”(rationalnumber)，但中文翻譯不恰當(dāng)，逐漸變成“有道理的數(shù)”。不是有理數(shù)的實數(shù)遂稱為無理數(shù)。所有有理數(shù)的集合表示為Q，有理數(shù)的小數(shù)部分有限或為循環(huán)。有理數(shù)包括：1）自然數(shù)：數(shù)0，1，2，3，……叫做自然數(shù)。2）正數(shù)：比0大的數(shù)叫做正數(shù)。3）負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上“—”（讀作“負(fù)”）號的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)都小于0。4）整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。5）分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)。6）奇數(shù)：不是2的倍數(shù)的整數(shù)叫做奇數(shù)。如-3，-1，1，5等。所有的奇數(shù)都可用2n-1或2n+1表示，n為整數(shù)。7）偶數(shù)：是2的倍數(shù)的整數(shù)叫做偶數(shù)。如-2，0，4，8等。所有的偶數(shù)都可用2n表示，n為整數(shù)。8）質(zhì)數(shù)：如果一個大于1的整數(shù)，除了1和它本身外，沒有其他因數(shù)，這個數(shù)就稱為質(zhì)數(shù)，又稱素數(shù)，如2，3，11，13等。2是最小的質(zhì)數(shù)。9）合數(shù)：如果一個大于1的整數(shù)，污染部位除了1和它本身外，還有其他因數(shù)，這個數(shù)就稱為合數(shù)，如4，6，9，15等。4是最小的合數(shù)。10）互素：如果兩個正整數(shù)，除了1以外沒有其他因數(shù)，這兩個整數(shù)稱為互數(shù)，如2和5，9和13等?！?，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理數(shù)。全體有理數(shù)構(gòu)成一個集合，即有理數(shù)集，用粗體字母Q表示，較現(xiàn)代的一些數(shù)學(xué)書則用空心字母Q表示。有理數(shù)集是實數(shù)集的子集。相關(guān)的內(nèi)容見數(shù)系的擴(kuò)張。有理數(shù)集是一個域，即在其中可進(jìn)行四則運算（0作除數(shù)除外），而且對于這些運算，以下的運算律成立（a、b、c等都表示任意的有理數(shù)）：

①加法的交換律a+b=b+a；②加法的結(jié)合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存在數(shù)0，使0+a=a+0=a；④對任意有理數(shù)a，存在一個加法逆元，記作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；⑤乘法的交換律ab=ba；⑥乘法的結(jié)合律a(bc)=(ab)c；⑦分配律a(b+c)=ab+ac；⑧存在乘法的單位元1≠0，使得對任意有理數(shù)a，1a=a；⑨對于不為0的有理數(shù)a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。⑩0a＝0文字解釋：一個數(shù)乘0還等于0。此外，有理數(shù)是一個序域，即在其上存在一個次序關(guān)系≤。0的絕對值還是0.有理數(shù)還是一個阿基米德域，即對有理數(shù)a和b，a≥0，b>0，必可找到一個自然數(shù)n，使nb>a。由此不難推知，不存在最大的有理數(shù)。值得一提的是有理數(shù)的名稱。“有理數(shù)”這一名稱不免叫人費解，有理數(shù)并不比別的數(shù)更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數(shù)一詞是從西方傳來，在英語中是（rationalnumber），而（rational）通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學(xué)著作，依據(jù)日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數(shù)”。但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為（ratio），就是比率的意思（這里的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數(shù)的“比”。與之相對，而“無理數(shù)”就是不能精確表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，而并非沒有道理。有理數(shù)加減混合運算1.理數(shù)加減統(tǒng)一成加法的意義：對于加減混合運算中的減法，我們可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，這樣就可將混合運算統(tǒng)一為加法運算，統(tǒng)一后的式子是幾個正數(shù)或負(fù)數(shù)的和的形式，我們把這樣的式子叫做代數(shù)和。2.有理數(shù)加減混合運算的方法和步驟：（1）運用減法法則將有理數(shù)混合運算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。

（2）運用加法法則，加法交換律，加法結(jié)合律簡便運算。有理數(shù)范圍內(nèi)已有的絕對值，相反數(shù)等概念，在實數(shù)范圍內(nèi)有同樣的意義。一般情況下，有理數(shù)是這樣分類的：整數(shù)、分?jǐn)?shù)；正數(shù)、負(fù)數(shù)和零；負(fù)有理數(shù)，非負(fù)有理數(shù)前人夫妻二整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù),有理數(shù)可以用a/b的形式表達(dá)，其中a、b都是整數(shù)，且互質(zhì)。我們?nèi)粘＝?jīng)常使用有理數(shù)的。比如多少錢，多少斤等。凡是不能用a/b形式表達(dá)的實數(shù)就是無理數(shù)，又叫無限不循環(huán)小數(shù)[編輯本段]有理數(shù)的由來古埃及人約于公元前17世紀(jì)初已使用分?jǐn)?shù)，中國《九章算術(shù)》中也載有分?jǐn)?shù)的各種運算。分?jǐn)?shù)的使用是由于除法運算的需要。除法運算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整數(shù)，則方程不一定有整數(shù)解。為了使它恒有解，就必須把整數(shù)系擴(kuò)大成為有理系。[編輯本段]有理數(shù)的現(xiàn)代理論關(guān)于有理數(shù)系的嚴(yán)格理論，可用如下方法建立。在Z×（Z-{0}）即整數(shù)有序?qū)Γǖ诙坏扔诹悖┑募隙x的如下等價關(guān)系：設(shè)p1，p2Z，q1，q2Z-{0}，如果p1q2=p2q1。則稱（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z-{0}）關(guān)于這個等價關(guān)系的等價類，稱為有理數(shù)。（p，q）所在的有理數(shù)，記為。一切有理數(shù)所成之集記為Q。令整數(shù)p對應(yīng)一于，即（p，1）所在的等價類，就把整數(shù)集嵌入到有理數(shù)的集中。因此，有理數(shù)系可說是由整數(shù)系擴(kuò)大后的數(shù)系。有理數(shù)集合是一個數(shù)域。任何數(shù)域必然包含有理數(shù)域。即有理數(shù)集合是最小的數(shù)域。