幼兒數(shù)學教育主要包括幼兒的數(shù)概念、計數(shù)和運算的教育、量與計量的教育、幾何圖形和空間關(guān)系、時間關(guān)系的教育等。

①幼兒的數(shù)、計數(shù)與運算10以內(nèi)數(shù)的實際意義；數(shù)的守恒；相鄰數(shù)；數(shù)與數(shù)之間的數(shù)差關(guān)系；認識序數(shù)，能夠用自然數(shù)表示物體排列的次序關(guān)系，說出物體排第幾；認識10以內(nèi)數(shù)的組成和分解，以及部分數(shù)之間的互換和互補關(guān)系等；學會10以內(nèi)的計數(shù)；認讀和書寫10以內(nèi)的阿拉伯數(shù)字；10以內(nèi)數(shù)的加、減運算，包括認識加號、減號和等號，理解加減法的意義，學習10以內(nèi)數(shù)的口頭加減運算，并能夠用加、減法解決實際生活中的簡單問題。

②量與計量的初步知識能區(qū)分物體量的差異，比較物體的多少、大小、長短、高低、粗細，厚薄、寬窄、輕重、容積等；理解初步的量的守恒；在比較物體量的差異時，感知量的相對性；幫助兒童建立序的概念，并體驗其中的傳遞關(guān)系；學習計量，會進行初步的自然測量。

③簡單的幾何圖形知識能夠正確辨認常見的平面圖形――正方形、三角形、長方形、半圓形、圓形和梯形，并能說出它們的名稱和主要特征；能夠正確辨認幾種常見的立體幾何圖形――球體、正方體、圓柱體、長方體；能夠區(qū)分平面圖形和立體圖形，理解圖形之間的簡單關(guān)系。

④空間方位初步知識能區(qū)分上、下、左、右和遠、近等空間方位；能按指定方向進行運動，包括向前、向后、向左、向右、向上和向下等。

⑤時間、方位的初步知識能區(qū)分早晨、晚上、白天、黑夜、昨天、今天、明天，并且知道一星期7天的名稱及其順序；認識時鐘，知道時鐘的用途以及正點與半點。

學數(shù)學難道離不開掰手指頭？ 是的！

我讀研究生的時候，做過一次教學試驗，讓一個美國一年級小男生計算一下6+7=？?？戳丝催@個題目，小男生從容的把一只腳從課桌下面掰上來，脫掉鞋，甩開襪子，然后從手指頭數(shù)到了腳趾頭。

提問：作為家長的你，會如何評價這個小男生？

學數(shù)學難道離不開掰手指頭么？這是讓很多家長頭疼的事情。孩子會不會產(chǎn)生依賴？會不會導致無法提高計算速度？這么算會不會太幼稚太初級呢？

這之后的若干年，項目組的同事們每次回看這段視頻，都忍不住哈哈大笑。從數(shù)學教育的專業(yè)角度，我們其實是這么評價和分析的：

第一，他能馬上判斷出答案應(yīng)該在10-15這個區(qū)間內(nèi)（因為他脫且只脫了一只鞋）說明他具有不錯的數(shù)感；

第二，他知道在運算的過程中借助身邊的工具，把一個抽象的算式具體化。

小學數(shù)學的學習離不開數(shù)感的培養(yǎng)，而數(shù)感的培養(yǎng)離不開工具的使用 。那么，

到底什么是數(shù)感？

手指頭到底能不能用？

手指頭怎么用才好？

1.什么是數(shù)感

在小學的數(shù)學教育中，不論中國還是美國，數(shù)與計算都是教學內(nèi)容中的主要部分。而這部分都是建立在良好的數(shù)感基礎(chǔ)上的。所以，什么是數(shù)感呢？

數(shù)感這個詞，是從英文詞組number sense直接翻譯過來的。它的意思很寬泛，指的是孩子可以靈活機動的使用數(shù)字。根據(jù)美國數(shù)學教師委員會（NCTM，National Council of Teachers of Mathematics）的定義，數(shù)感應(yīng)該大致包括以下幾個方面：

-了解數(shù)字，以及不同的數(shù)字的表示方式

-了解數(shù)字之間的關(guān)系，以及我們的數(shù)字體系（比如十進制或二進制）

-了解不同的運算，知道不同運算之間的關(guān)系

-可以在現(xiàn)實生活中使用數(shù)字

數(shù)感是如何培養(yǎng)起來的呢？認知心理學普遍認為，當孩子還很小的時候，就能通過日常生活經(jīng)驗積累起對一些數(shù)學性概念的直觀感受，比如大小，多少，前后，高矮，遠近。

全家喝湯需要幾把勺子？今天有客人，需要增加幾把？從家到學校需要多長時間？ 買一個玩具大概需要多少錢？ 這兩把香蕉哪個更多，多多少？

這些對話讓數(shù)學成為孩子的日常生活中不可缺少的一部分。進入學校后，在這些數(shù)學對話的基礎(chǔ)上，孩子要開始學習一系列正規(guī)的數(shù)學表達方法，十進位，加減乘除運算（豎式），數(shù)量的拆分和整合，加法結(jié)合律、加法交換律、乘法分配率，小數(shù)，分數(shù)，百分比，比例等等。

數(shù)感還包括，孩子知道6+17，17+6，16+7都是一樣的，并且能用自己的語言說出為什么一樣；4個15比50要大，為什么；一個電梯里大概能塞下多少人，這么多人排隊我們需要等幾趟電梯，等等。

但是需要注意的是，很多家長或多或少有一個錯覺，那就是，正規(guī)運算是更高級的數(shù)學，一旦孩子開始學習，日常生活中的數(shù)學對話就落后了，低級了，也沒有必要了。取而代之的，是習題，是熟練度，是反復練習?？傊?，孩子的數(shù)學學習就應(yīng)該交付給學校的模式。

按照這個思路，掰手指頭顯然不夠高級也不夠正規(guī)?？偪筷种割^做算數(shù)怎么能熟練掌握數(shù)學原理呢？家長會有這個擔憂。

2. 手指頭到底能不能用？

答案非常簡單粗暴: 能！不僅能用，還應(yīng)該鼓勵用。為什么？

先看看人類計數(shù)的歷史。

首先，一起來做個情境代入。假如你生活在公元前9000年的美索不達米亞（Mesopotamia），是個牧羊人。你需要每天把羊群放出去吃草，晚上弄清楚是不是每只羊都回來了？可是，糟糕的是，這個時候還是新石器時代，數(shù)字還沒有發(fā)明，更沒有什么計數(shù)的體系。換句話說，你還不會數(shù)數(shù)這回事呢。這個時候你應(yīng)該怎么辦？

你可能會想到幾個解決方法：

方法 1: 你從四面八方找來很多石頭塊，打開羊圈放羊群放出去吃草的時候，每當一只羊從你身邊經(jīng)過，你就堆一塊石頭到羊圈門口，直到堆成一個石頭堆，剩下的石頭塊都丟的遠遠的不再用。晚上羊回來的時候，把石頭堆里的石頭一塊一塊搬開，如果最后一塊都不剩，你就知道一只沒少全回來了。就用石頭數(shù)羊法，日復一日，循環(huán)往復。

方法 2: 找來一個樹樁子，早上羊群經(jīng)過你身邊的時候，看到一只羊就在樁子上畫個細道；晚上羊回圈的時候，回來一只就在細道旁邊畫個圈；第二天早上，每個圈旁邊再劃個道，就用樹樁子劃線圈法數(shù)羊，日復一日，循環(huán)往復。（當然，寫不下的時候要換樹樁子）。

這兩種方法都有一個共同點，都是用一一對應(yīng)的方法來記錄羊群的數(shù)量。一塊石頭，一個細道道，或是一個圓圈對應(yīng)一只羊。仔細想想，你會發(fā)現(xiàn)，這其實跟孩子用手指頭數(shù)數(shù)是一個道理——每一個手指頭對應(yīng)數(shù)字“1”所代表的數(shù)量。

當孩子對抽象的阿拉伯數(shù)字還不夠熟悉的時候，他們需要一切方便易得的工具來協(xié)助記錄數(shù)量和數(shù)量的變化。就像這個人類早期文明時期的羊倌一樣。對孩子而言，還有什么比手指頭更簡單更順手的工具呢？

從人類計數(shù)發(fā)展的歷史來看，用手指計數(shù)是再正常不過的，甚至很多專門研究計數(shù)發(fā)展史的學者認為，人類最早的計數(shù)方法就是利用手指頭計數(shù)。

在這之后，才逐漸出現(xiàn)巖石刻道，然后這些道道被分成幾個一組。再然后才出現(xiàn)進位機制，再以后的十進制，直到阿拉伯數(shù)字從印度傳到西方，現(xiàn)代數(shù)學的符號基礎(chǔ)才逐步穩(wěn)定。

注意觀察的話，你會發(fā)現(xiàn)這種分組方式是以8為單位。

每一個阿拉伯數(shù)字都是一個抽象的數(shù)學符號，孩子要經(jīng)過相當長一段時間才能逐步把這個符號和它背后代表的數(shù)量結(jié)合起來。而在此之前，用手指頭幫忙計數(shù)是個自然而然，簡便易行的方法。

再聽聽腦神經(jīng)學家是怎么說的。

2015年的一個神經(jīng)學研究中，學者Llaria Berteletti 和James R. Booth對人的大腦進行了分析。他們發(fā)現(xiàn)，大腦中的某一個特定部分是可以“看到”我們的手指的。8-13歲的學生做減法題目的時候，他們大腦的這個部分就會點亮，即使沒有掰手指頭。

其他的學者還發(fā)現(xiàn)，一年級的孩子如果手指用得很熟練的話，二年級時候的數(shù)量比較和估算能力也會更強。當研究者們訓練6歲的孩子有一些“手指頭意識” 的時候，孩子不僅僅提高了算數(shù)能力，而且未來數(shù)學學習成功的可能性也更大。

當然，這些研究并不是說掰掰手指頭，孩子就能開啟神秘的大腦能量。而是說，在適當?shù)碾A段，當孩子需要的時候，給孩子一個天然的、人類使用已久的計數(shù)工具，從長遠看來，這么做對孩子的數(shù)學學習是有幫助的。

最后參考一下數(shù)學教育專家的意見。

斯坦福大學的Jo Boaler教授常年致力于改善美國小學生的數(shù)學學習體驗和效果。她在研究中發(fā)現(xiàn)，手指輔助運算能夠幫助孩子更好的學習數(shù)學。她認為，使用手指在教會孩子基礎(chǔ)概念的時候至關(guān)重要，而且也和孩子今后的數(shù)學IQ有相關(guān)性。而強行禁止孩子使用手指輔助運算，很可能對他們的數(shù)學能力發(fā)展造成傷害。

對于剛剛開始接觸正規(guī)數(shù)字的孩子來說，手指頭是一個橋梁，一個過渡?！笆种割^是我們最有用的視覺輔助系統(tǒng)，對于提高數(shù)學理解能力，大腦發(fā)展都至關(guān)重要。這個作用還會一直延續(xù)到成年之后?！?/p>

“當學生不擅長死記硬背，或者數(shù)字使用不太熟練的時候，往往會找到視覺的或者其他的輔助工具。而這一點，讓我們很多最偉大的科學家比如愛因斯坦和愛迪生，在小時候被老師認為是愚蠢的?！?/p>

總結(jié)一下：到底能不能掰手指頭。

孩子做算數(shù)的時候能不能掰手指頭？

能。

孩子是不是一定要掰手指才能學好數(shù)學？

不是。但腦神經(jīng)研究結(jié)果表明，手指的訓練和使用有助于大腦的發(fā)展和數(shù)學能力的培養(yǎng)。

會不會造成依賴？

不會。這只是個過渡。隨著理解的深入，自然就會放棄不用。你會走了之后還用爬么

我小時候沒用也學會了啊。

1. 你小時候沒用不代表你孩子就不能用。你小時候還不用互聯(lián)網(wǎng)呢。

2. 你小時候初學數(shù)學的痛苦你可能已經(jīng)不記得了。

能不能讓孩子戒掉？

你可以試試。這么做的后果有以下一個或幾個。

1. 孩子在你不在的時候偷偷用，或者干脆改用計算器。（順便說一句，我個人不主張小學生使用計算器，除非是特別設(shè)計的課堂活動。關(guān)于為什么小學生最好不用計算器，下一期問答專欄我會回答）

2. 孩子的運算速度和準確度會下降。

3. 孩子會對數(shù)學產(chǎn)生畏難情緒，如果不及時調(diào)整，會影響學習數(shù)學的興趣。

4. 家長提供其他替代工具，孩子慢慢放棄使用手指。

5. 當然，還有一種可能，你的孩子輕松戒掉掰手指（或者根本不需要），因為他/她在數(shù)學方面有天分。

3. 手指頭和其他工具應(yīng)該怎么用？

現(xiàn)在你應(yīng)該不糾結(jié)能不能讓孩子掰手指了。下面的問題是，手指頭或者其它工具，應(yīng)該怎么用呢。

這里又涉及到數(shù)感的概念。數(shù)感不是簡單的數(shù)（三聲）數(shù)（四聲），而是知道數(shù)“量”的變化是怎么來的，是去了解一種數(shù)量變化的因果關(guān)系。單純靠死記硬背背熟9X9乘法表，或是熟記圓周率小數(shù)點之后100位，跟數(shù)感都沒有關(guān)系。

在培養(yǎng)數(shù)感的過程中，有兩個能力是非常重要的，那就是觀察數(shù)量的規(guī)律(patterns)和對數(shù)量進行分組(grouping or partitioning)。

比如下面這張圖，四個網(wǎng)球拍，爸爸媽媽可以問小朋友，這圖片里面有幾根球拍？

他們會說4個，這時你就可以問他們，你們是怎么知道這是四個球拍的??？

他們這時可能會說，2個+2個=4個

也有可能會說，這是1個+1個+1個再+1個。

那么兩個方法比較起來，就會發(fā)現(xiàn)很顯然2+2，比1+1+1+1更先進。為什么更先進了呢？因為這個方法更高效。能夠一眼看到圖中有兩個2，把視覺畫面和數(shù)量多少建立直接的聯(lián)系，簡單說來，這就是觀察數(shù)量的規(guī)律（patterns）。

再比如下面這張圖，小朋友會從圖中看到了哪些數(shù)量之間的關(guān)系呢？一眼看上去，最直觀的可能是5+3=8；如果再花點時間，給與點引導，小朋友可能看到8+2=10，甚至10-2=8。

接觸更多的數(shù)量變化之后，孩子還會知道5+5=10，7+3=10；甚至可以推導出一系列其他的方法來得到10這個數(shù)字。能靈活的把10分成8和2，或者分成7和3，甚至5+3+2，這就是我們說的對數(shù)量進行分組（partitioning）。

最初的數(shù)感的建立，都需要經(jīng)過從具體到抽象的過程，數(shù)學學習離不開構(gòu)建一個數(shù)學形象。與其讓孩子用抽象的算式來表達？＋？＝8，不如給8個香蕉（或者8個任何東西），問問他/她，應(yīng)該怎么在兩個小朋友之間分這8樣東西，有多少種分法，哪種分法你最喜歡，為什么。

多問開放性的問題，同時給孩子機會，讓他/她說出自己推理思考的過程，這比每天壓著孩子做10道四則運算題更能激發(fā)數(shù)學學習的熱情。

所以，手指頭能幫助孩子看到什么樣的數(shù)量規(guī)律patterns，又能幫助做哪些數(shù)量劃分partitioning呢

提問：你有沒有想過，我們的十進制是怎么來的？

提示: 掰掰手指頭你就知道了。

是的，我們的手上，寫滿了人類數(shù)學發(fā)展的歷史。瑪雅人的20進制，其他古代文明的12進制，到我們現(xiàn)在用的十進制。利用10個手指頭，除了可以清晰的表達出1-10的不同數(shù)量之外，我們可以幫助孩子迅速的認出每個數(shù)量所對應(yīng)的手指規(guī)律。比如，5就是一只手的全部手指，6就是一只手加一根額外的手指。

利用兩只手，我們可以演示10=？＋？的各種方法。每一種方法，都是對10這個數(shù)量的一次重新劃分，而我們可以把這個劃分過程用手指頭演示出來。

更高級一點，有沒有想過超過10的數(shù)字怎么辦？18應(yīng)該怎么表示呢？最簡單的方法，我們可以把腳趾頭一起算上，就像我們文章一開頭，那個從容脫掉襪子的小男生一樣。

跟他不同的是，我們可以跟孩子約定，每當我們湊夠10根手指頭的時候，我們就用1根腳趾頭來標記。手腳并用，我們可以有各種數(shù)字游戲出來：比大小，猜數(shù)字，湊100。在這樣的游戲過程中，你在傳達一個更為重要的數(shù)學概念，10進制。

當孩子通過掰手指頭對于數(shù)量有了進一步的深入的了解，把在具體的數(shù)量（幾根手指頭）和對應(yīng)的阿拉伯數(shù)字之間建立起更堅固的關(guān)聯(lián)之后，他們自然而然就會降低對手指頭的依賴，學會了更快更高效的方法，誰還會抓住笨辦法不放呢？

在這個過程中，家長當然也可以給孩子提供其他的替代性的工具，輔助孩子的計算。比如家里的生活用品，牙簽，米粒，火柴，或者是一些簡易好用的數(shù)學工具，比如可以拆卸的塑膠粒。

塑膠粒的好處是，我們可以隨時組裝出5，8，10，和他們的不同構(gòu)成形狀，讓孩子們對于數(shù)量的樣子和規(guī)律有進一步的理解。

我們將在下一篇數(shù)學教育的文章中，討論更多的手指游戲做法，以及其他有助于培養(yǎng)孩子數(shù)感的家庭數(shù)學游戲。

4. 寫在最后

今天說了好多次手指頭，連腳趾頭也出現(xiàn)了幾次，說這些，不僅是因為這是個常見問題，更重要的是這背后的觀念對孩子造成的影響。

從人類早期文明的牧羊人，到高科技時代的孩子們，使用形象、便捷的工具去理解和運用數(shù)字，是一以貫之的，也是很自然的。我們需要看到，從日常生活中的數(shù)學對話到學校學到的正式數(shù)學符號中間，還隔著很長一段的學習距離。在這個過程中，深度比速度更重要。多問問孩子why和how的問題，比知道答案是幾更重要。

上了初中后，正常情況下，所有的孩子都能熟練掌握四則運算?；乜葱W階段家長和孩子為了數(shù)學的著急上火, 那些都成了云煙。但是，雖然知識都能掌握，但是孩子是如何掌握四則運算的，四則運算對于他們意味著什么，往往決定了他們今后對待數(shù)學的態(tài)度。

對于父母而言，幫助孩子學好數(shù)學的第一步，是破除自己的數(shù)學迷思，給孩子提供他們所需要的輔助和過渡，從樂見孩子掰手指甚至脫掉鞋子掰腳趾開始。