數(shù)論是純粹數(shù)學(xué)的分支之一，主要研究整數(shù)的性質(zhì)。
而整數(shù)的基本元素是素數(shù)（也稱質(zhì)數(shù)），所以數(shù)論的本質(zhì)是對素數(shù)性質(zhì)的研究。數(shù)論被高斯譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們?nèi)ァ罢 ?。近年以來?shù)論研究獲得了多項突破性進(jìn)展，這讓數(shù)學(xué)界感到萬分驚喜。 發(fā)現(xiàn)已知的最大素數(shù)美國中央密蘇里大學(xué)數(shù)學(xué)家柯蒂斯·庫珀領(lǐng)導(dǎo)的研究小組通過參加一個名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”（GIMPS）的國際合作項目，于1月25日發(fā)現(xiàn)了目前已知的最大素數(shù)——2^57885161-1 （即2的57885161次方減1）。該素數(shù)是第48個梅森素數(shù)，有17425170位；如果用普通字號將它連續(xù)打印下來，其長度可超過65公里！美國數(shù)學(xué)學(xué)會發(fā)言人邁克·布林宣稱：這是數(shù)論研究的一項重大突破。研究小組在大約1000臺大學(xué)里的計算機(jī)上運(yùn)行GIMPS的軟件，每臺計算機(jī)都不間斷地用了39天時間證明257885161-1是個素數(shù)。之后其他研究者也獨(dú)立驗證了這一結(jié)果。近年來，庫珀通過參加GIMPS項目一共發(fā)現(xiàn)了3個梅森素數(shù)。尋找梅森素數(shù)已成為發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)的最有效途徑。如今世界上有180多個國家和地區(qū)近28萬人參加了GIMPS項目，并動用超過79萬臺計算機(jī)聯(lián)網(wǎng)來尋找新的梅森素數(shù)。梅森素數(shù)是否有無窮多個？這是一個尚未破解的著名數(shù)學(xué)謎題。 證明“弱孿生素數(shù)猜想”美國新罕布什爾大學(xué)數(shù)學(xué)家張益唐經(jīng)過多年努力，在不依賴未經(jīng)證明推論的前提下，率先證明了一個“弱孿生素數(shù)猜想”，即“存在無窮多個之差小于7000萬的素數(shù)對”。4月17日，他將論文投稿給世界頂級期刊《數(shù)學(xué)年刊》。美國數(shù)學(xué)家、審稿人之一亨里克·艾溫尼科評價說：“這是一流的數(shù)學(xué)工作。”他相信不久會有很多人把“7000萬”這個數(shù)字“變小”。盡管從證明弱孿生素數(shù)猜想到證明孿生素數(shù)猜想還有相當(dāng)?shù)木嚯x，英國《自然》雜志在線報道還是稱張益唐的證明為一個“重要的里程碑”。由于孿生素數(shù)猜想與哥德巴赫猜想密切相關(guān)（姐妹問題），很多數(shù)學(xué)家希望通過解決這個猜想，進(jìn)而攻克哥德巴赫猜想。值得一提的是，英國數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德曾提出一個“強(qiáng)孿生素數(shù)猜想”。這一猜想不僅提出孿生素數(shù)有無窮多對，而且還給出其漸近分布形式。中國數(shù)學(xué)家周海中指出：要證明強(qiáng)孿生素數(shù)猜想，人們?nèi)砸鎸υS多巨大的困難。 解開“弱哥德巴赫猜想”5月13日，秘魯數(shù)學(xué)家哈拉爾德·赫爾弗戈特在巴黎高等師范學(xué)院宣稱：證明了一個“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一個大于7的奇數(shù)都能被表示成3個奇素數(shù)之和”。他將論文投稿給全球最大的預(yù)印本網(wǎng)站（arXiv）；有專家認(rèn)為這是哥德巴赫猜想研究的一項重大成果。不過，其證明是否成立，還有待進(jìn)一步考證。赫爾弗戈特在論證技術(shù)上主要使用了哈代-李特爾伍德-維諾格拉多夫圓法。在這一圓法中，數(shù)學(xué)家創(chuàng)建了一個周期函數(shù)，其范圍包括所有素數(shù)。1923年，哈代和李特爾伍德證明，假設(shè)廣義黎曼猜想成立，三元哥德巴赫猜想對充分大的奇數(shù)是正確的；1937年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伊萬·維諾格拉多夫更進(jìn)一步，在無須廣義黎曼猜想的情形下，直接證明了充分大的奇數(shù)可以表示為3個素數(shù)之和。英國數(shù)學(xué)家安德魯·格蘭維爾稱，不幸的是，由于技術(shù)原因，赫爾弗戈特的方法很難證明“強(qiáng)哥德巴赫猜想”，即“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。如今數(shù)學(xué)界的主流意見認(rèn)為：要證明強(qiáng)哥德巴赫猜想，還需要新的思路和工具，或者在現(xiàn)有的方法上進(jìn)行重大的改進(jìn)。（鄭輝 作者系新加坡南洋理工大學(xué)教授）
