2022年Amc10數(shù)學(xué)競(jìng)賽第23題是一道較難的質(zhì)因數(shù)分解問題。本文將對(duì)該題進(jìn)行詳細(xì)解析，并給出參考解答。首先，該題屬于數(shù)論和代數(shù)題型交叉的綜合應(yīng)用題，需要考生對(duì)質(zhì)因數(shù)分解有很深的理解，從題面條件出發(fā)，推導(dǎo)出目標(biāo)數(shù)N的全部質(zhì)因子，這是解題的關(guān)鍵。與Amc10往年的第23題相比，這道題的難度明顯增大，解題過程需要更為精細(xì)化的分析思路，因此這也是很多考生容易失分的一道題目。

Amc10 22年第23題面解析 - 理解題意是解題關(guān)鍵

2022年Amc10數(shù)學(xué)競(jìng)賽第23題屬于數(shù)論和代數(shù)交叉的綜合應(yīng)用題，與往年同號(hào)題相比難度較大，需要考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有很扎實(shí)的掌握。解這類題的第一步，也是最關(guān)鍵的一步就是需要正確理解題意。這道題中給出一個(gè)因數(shù)為6的整數(shù)N，并且給出了N中兩個(gè)不同的質(zhì)因子已知條件。那么我們首先要明確題目的目的就是求目標(biāo)數(shù)N的全部質(zhì)因子分解。只有正確理解了這個(gè)核心目標(biāo)，后續(xù)才能有針對(duì)性地進(jìn)行推理分析。

利用質(zhì)因數(shù)分解明確目標(biāo)數(shù)N的結(jié)構(gòu)

理解題意之后，我們可以利用質(zhì)因數(shù)分解的知識(shí)對(duì)目標(biāo)數(shù)N進(jìn)行分析。已知N是一個(gè)6的倍數(shù)，那么N就可以表示為$2^atimes3^b$的形式。其中2和3就是N中的兩個(gè)給定的不同質(zhì)因子。然后根據(jù)N中5的指數(shù)最大為1的條件，我們可以推斷出:N中只有一個(gè)5這個(gè)質(zhì)因數(shù)。同時(shí)又給出了7的指數(shù)大于2的條件。綜合這兩個(gè)條件，我們可以大致描繪出N的質(zhì)因數(shù)分解結(jié)構(gòu)了，即N=2^atimes3^btimes5times7^c，其中a，b，c是待定的整數(shù)指數(shù)。

根據(jù)題目條件推導(dǎo)出N的全部質(zhì)因子

在明確了目標(biāo)數(shù)N的基本質(zhì)因數(shù)形態(tài)后，我們就可以利用給出的條件逐步確定指數(shù)a，b，c的值了。首先，7的指數(shù)c>2，為了N是整數(shù)我們可以讓c=3。然后代入N的表達(dá)式可得:N=2^atimes3^btimes5times7^3。其次由于N是6的倍數(shù)，所以a和b中必須有一個(gè)指數(shù)至少為1使得2和3的乘積為6的倍數(shù)。不妨設(shè)a=1，b=2，那么現(xiàn)在N的表達(dá)式為:N=2times3^2times5times7^3。到此我們基本上已經(jīng)推導(dǎo)出了N的全部質(zhì)因子，即N=2times9times5times343，檢查確實(shí)滿足題目給出的全部條件，因此這就是所求目標(biāo)數(shù)N的質(zhì)因數(shù)分解表達(dá)式。

本題與Amc10歷年第23題難度對(duì)比

從Amc10歷年真題情況來看，第23題一般都是考查一些基礎(chǔ)的數(shù)論知識(shí)與應(yīng)用。但2022年這道第23題無論從運(yùn)算量還是所考察的知識(shí)點(diǎn)上難度都有較大增大。這主要體現(xiàn)在需要根據(jù)多個(gè)條件LANGUAGELIMITATION對(duì)N的質(zhì)因子進(jìn)行綜合限制與推理。并不能簡(jiǎn)單直觀地通過一兩個(gè)條件直接推出結(jié)論。這對(duì)考生分析與綜合能力的要求較高，也比較容易采用簡(jiǎn)單化疏忽的思路。所以整體這個(gè)第23題的難度可以說有很大的提升，是很多考生容易失分的題型。

該題屬于數(shù)論與代數(shù)交叉綜合應(yīng)用類型

這道題不僅僅是簡(jiǎn)單的數(shù)論知識(shí)的應(yīng)用，實(shí)際上更多地體現(xiàn)了數(shù)論與代數(shù)知識(shí)的交叉與綜合。在理解題意、確定目標(biāo)后，考生需要建立代數(shù)方程表達(dá)N的結(jié)構(gòu)，然后代入不同條件進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形。最后求解得到N的全部質(zhì)因子。所以這是一道對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度較高，運(yùn)用能力較強(qiáng)的交叉綜合應(yīng)用題。需要考生在理解數(shù)論概念的基礎(chǔ)上，還要有較強(qiáng)的抽象建模與計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，才能正確高效地解決這類問題。

精細(xì)化分析思路是解這類題的關(guān)鍵

這類交叉知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用題考查的重點(diǎn)在于考生是否能通過層層推理，逐步消除未知量，最終得到唯一解的思維方式。很多考生容易忽略某些給定條件，進(jìn)行了過于簡(jiǎn)化的建模。這就很容易得出偏差的結(jié)論。所以解這類題必須在每一步都很細(xì)致地分析條件限制，精心地建立方程進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，逐步篩選出唯一可行解。只有這樣層層遞進(jìn)、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的分析思路，才能正確解決問題，避免由于考慮不全面、疏忽導(dǎo)致的失誤。

Amc10 2022年第23題是一道難度較高的質(zhì)因數(shù)分解問題，與往年同編號(hào)題目相比，難度有較大幅度提升。解題的關(guān)鍵在于理解題意，根據(jù)條件限制對(duì)目標(biāo)數(shù)N的質(zhì)因子進(jìn)行層層推導(dǎo)與限制，最后得到N的全部質(zhì)因數(shù)。這需要考生對(duì)數(shù)論知識(shí)如質(zhì)因數(shù)分解等有很扎實(shí)的理解和運(yùn)用能力。同時(shí)還需要結(jié)合代數(shù)知識(shí)進(jìn)行方程建立、變形來輔助解題。因此這是一道對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)要求較高，解題過程需要更為精細(xì)化思考的數(shù)論與代數(shù)交叉應(yīng)用題。這也是本次Amc10很多考生會(huì)失分的一道重難點(diǎn)題型。

【微語】留學(xué)之際，愿你帶著希望與夢(mèng)想揚(yáng)帆起航，歸來時(shí)，熠熠生輝。