學AP的中國學生，基本都會選微積分。近幾年，在中國大陸，每年有大約1萬人參加AP微積分BC的考試，大約4000人參加微積分AB的考試。

雖然，中國學生AP微積分的考試成績蠻好，但其實真正將這門課學得很好的學生，應(yīng)該不超過20%。如果同學們想真正學好這門課，順便再拿個5分，請先了解下面這些問題：

為什么要學AP微積分？

需要先具備怎樣的基礎(chǔ)呢？

AP微積分學些什么？難不難？

怎么學好AP微積分？有什么建議？

AP微積分培訓課程是怎么設(shè)置的？

很多時候，做好一件事情，最重要的不是真正開始后所展現(xiàn)出的勤奮、能力、智商，而是動手之前所收集的信息，所做的籌劃、準備、功課。

01

為什么要學AP微積分？

不少同學，只是因為AP微積分是學校的必修課，或者家長覺得應(yīng)該學，才被動選擇這門課的。但如果不自己事先想清楚，為什么要學這門課，那在學習過程中遇到理解上的困難時，便容易煩躁，變成“優(yōu)秀的退堂鼓演員”。

微積分是大學的一門重要基礎(chǔ)數(shù)學課程，也是高等數(shù)學的一個分支。作為現(xiàn)代科學的基礎(chǔ)知識，微積分是許多學科和專業(yè)學習的必需內(nèi)容。被稱為“現(xiàn)代計算機之父”和“博弈論之父”的科學全才馮.諾依曼認為，“微積分是現(xiàn)代數(shù)學的最高成就，對它的重要性怎樣估計都不過分”。

同時，中國的留美學生，大部分選擇了商科、工程學、數(shù)學、計算機科學、自然與生命科學、社會科學等專業(yè)，這些專業(yè)都離不開微積分。

因此呀，不論是出于因愛智慧而產(chǎn)生的興趣，還是出于未來的學習需要，微積分都是許多留美同學的必備課程。

02

學好AP微積分需要什么基礎(chǔ)條件？

首先，需要先有不錯的函數(shù)知識基礎(chǔ)。不管是什么課程體系，也不管是自學還是跟學校學的，如果已經(jīng)較好地學完了高中課程里的三角函數(shù)（trigonometric functions），那就具備了學微積分的基礎(chǔ)。

具體而言，同學們學AP微積分之前，要熟悉這些知識：對函數(shù)（function）的理解、冪函數(shù)（power function）、多項式函數(shù)（polynomial function）和有理函數(shù)（rational function）、指數(shù)函數(shù)（exponential function）、對數(shù)函數(shù)（logrithmic function）、三角函數(shù)、反三角函數(shù)（inverse trigonometric function）、復合函數(shù)（composite function）、反函數(shù)（inverse function）等。

其次，要確保自己有不少時間可以分配給這門課。一部分同學可能會低估AP學習的難度，高估自己的效率。微積分畢竟是大學難度級別的課程，大部分同學也不是數(shù)學學霸，在能投入的時間又很有限的情況下，就容易學得迷迷糊糊的。

同時，同學們還要有克服一些學習困難的決心。學習具有一定難度的課程時，我們有時候可能會容易失去耐心、信心，時常覺得，“差不多就這樣吧，或許它們就是很難懂，可能我就這智商”?；蛘哂袝r候會，“好像都懂了，但還是不會算、不會用！我太難了！”

同學們請一定要意識到，對于絕大部分人而言，學會一項技藝、一門“功夫”、一門課程，就是需要有個細品的過程，就是會遭遇一些理解和接受上的困難，就是不會那么舒服。數(shù)學暢銷書《怎樣解題》的作者波利亞說，“把學習和解題當作純粹的智力活動是錯誤的，決心和情緒也起了很重要的作用”。

如果以上三個基本條件還不具備，我建議先不著急選這門課——有進取心，敢于挑戰(zhàn)自己是對的，但過于跳躍地追求進步和成長的話，也很容易在屢屢遭受打擊的過程中，不斷懷疑自己，慢慢磨去學習數(shù)學課程的信心、興趣，這就弊遠大于利了。

其實每年都有一部分同學，不適合學AP微積分——硬學的過程中，把自己弄得壓力太大、太痛苦了。同學們的背景和條件各不一樣，無所謂高低、強弱，不同的樹有不同的開花長果的時間。

03

AP微積分學些什么？

微積分主要是對無窮小的量進行分析，因為實際的問題往往是無限變化、無限繁復的，需要進行無限細分（微分），或者無限細分后再累加（積分）這樣的分析、計算。

AP微積分BC學習的知識包括極限（limit），導數(shù)（derivative），積分（integral），和無窮級數(shù)（infinite series）四塊，這些也就是大部分大學、專業(yè)的單變量微積分這門課的主要內(nèi)容。

AP微積分的課程及考試分為AB和BC，前者所學內(nèi)容差不多占后者的70%，并且完全被后者覆蓋。AB和BC各自所包含的知識模塊，具體如下表所示：

在美國的不少大學，AB對應(yīng)了其一個學期的數(shù)學課程，BC對應(yīng)了其兩個學期的數(shù)學課程。從知識內(nèi)容的要求來說，學BC的同學不需要先學過AB。對于能自由選擇的同學，如果數(shù)學底子確實較弱，但是又一定想學AP微積分的話，我建議選AB；否則，我建議跳過AB，直接選BC。

04

AP微積分的考試及難度

AP微積分的考試，考查的重點是對知識點的理解和基本應(yīng)用，只需要有一般的計算能力，不會涉及到很復雜的計算。AB和BC的試卷結(jié)構(gòu)都是一樣的，試題都是分為兩部分：選擇題和大題，具體分配如下表：

AP微積分考試的卷面滿分為108分，最后成績會換算成1至5分，換算的標準可能每年略微不同。微積分BC的5分率（拿5分的學生所占的比重），不管是算全球考生總的，還是單看中國考生的，都是常年在40%左右；微積分AB的5分率，一般分別是20%左右（全球）和32%左右（中國）。

AP微積分的5分率之所以這么高，主要是因為題目出得不算難，并且拿5分的要求不高。一般而言，卷面得分大于等于69分，就能得換算后的5分；56至68的卷面分，即可得換算后的4分。AB和BC的要求差不多。

一般而言，AP達到4分的成績，就可以兌換大學學分了。具體能換多少學分，要看各個學校自己的政策。

AP微積分BC明明比AB學的東西多了不少，也被認為更有含金量，為何最后的考試結(jié)果，卻是BC的5分率比AB的高了不少呢？

因為這首先是一個學前選擇的問題：一般而言，認為自己數(shù)學基礎(chǔ)弱一些的同學會主動選擇學習AB；其次，AB考查的知識點少一些，便在許多考點上換著形式反復出題，無形中也增加了一些知識點的考查難度。此外，有許多學校規(guī)定學生得先學AB，才能學BC，而BC差不多70%的內(nèi)容就是AB的——這樣的話，一些同學在學BC時，大部分內(nèi)容又在做一遍復習。

考試只是手段，不是目的。拿到5分雖然不是很難，但考慮到同學們能夠投入的時間比較有限，影響學習和心態(tài)的事情又很多，所以，這樣一門滿是抽象概念的課程，還挺考驗少年和小仙女們的。

而且，考試拿到5分是一回事，真正學得好則是另外一回事。如果想為大學的數(shù)學學習打下好的基礎(chǔ)，較自如地繼續(xù)學習更高階的數(shù)學課，還是要在AP學習階段就踏踏實實做出努力，不要學個AP還學得花里胡哨的、各種糊弄事兒。

05

學習建議

總的來說，主要有以下這么幾條：注意時間和進度上的把握；使用有質(zhì)量的、適合自己的學習資源、資料；認真復習、練習，并且及時解決問題。

1. 關(guān)于時間和進度的安排，對于要考試的同學而言，請務(wù)必爭取在3月中旬之前，完成對課程大綱所要求的知識點的學習，然后4月份通過練習，以及對書本/講義/參考資料/學習筆記的復習，達到對知識點的更好的理解，以及達到AP考試的要求。

2. 關(guān)于資料，CB官方并沒有出AP微積分的教材，只是發(fā)出了一份課程大綱。如果是自學AP微積分，或者學校的老師不怎么按AP的方向講課，那請你一定要注意參考官方的課程大綱，看看自己具體應(yīng)該學會哪些知識點，達到怎樣的程度，看看自己所用的教材、所聽的課有沒有遺漏、跑偏。

目前最新版的課程大綱是2020年秋季版的，它其實同2019年的也幾乎沒有區(qū)別。

3. 對于教材的選擇，要根據(jù)自己的基礎(chǔ)、習慣進行選擇。

好的教材應(yīng)該是：寫得專業(yè)、清楚，邏輯通暢、層層遞進，例題解說到位、且能很好地幫助學生理解知識點的。

AP好教材的標準是：在滿足上述標準的基礎(chǔ)上，例題不僅能輔助理解知識點，還多是AP真題的風格。

AP的同學，在市面上較容易見到的微積分教材有：

1）James Stewart 寫的

2）Pearson出版的、由Thomas（MIT的老師）寫的

3）同濟大學編寫的《高等數(shù)學》

4）巴朗的（Barron’s）

5）普林斯頓的（Princeton’s Review）

6）McGraw-Hill的

7）Peterson出的

8）MarkHowell等編寫的

其中，前3本不是專門針對AP的，都寫得很詳細、專業(yè)；后5本大體是按照AP課程、考試的要求編寫的，大都存在一些缺點。

Barron’s相對而言內(nèi)容比較全，考點說明也全，一些習題編得也蠻不錯的，但也有一些不貼近AP風格的內(nèi)容和習題，部分習題的設(shè)計思路比較怪異。Princeton’s Review這本作為AP微積分入門教材還可以，但是太基礎(chǔ)了，甚至有個別AP考點沒有在此書強調(diào)或者解析。

McGraw-Hill的整體框架、質(zhì)量還過得去的，但也有不少不恰當、不詳細的內(nèi)容，也有存在知識點總結(jié)羅列過多的情況，不少練習題同AP考試的要求也不是很接近；而McGraw-Hill同配套的，簡直是誤人子弟、辣雞中的戰(zhàn)斗雞。

Peterson出版的這本，編寫得還可以的，但是整體有點偏難，基礎(chǔ)稍好的同學可以使用它。這本是我個人比較推薦的，編寫得很好，只是現(xiàn)在國內(nèi)可能買不到了，美高同學可以找找。

對于自學微積分的同學，如果數(shù)學底子不錯，或者大學準備學習數(shù)學、物理等相關(guān)專業(yè)，則適合用前三本中的某一本。喜歡看英文教材的話，則我最推薦James Stewart的，哪個版本的都行；喜歡看中文的話，則同濟大學那本蠻好用的。

自學的同學，如果數(shù)學底子偏弱，則可以搭配使用James Stewart的和巴朗的。在校內(nèi)學微積分的同學，如果學校的老師靠譜，講得好，那你就緊緊跟著老師“天使的步伐”就好，多和老師溝通學習，并且注意在后期通過練習往年真題，加深對知識點和AP考試的理解、把握。

如果學校的老師不怎么好好講課，那你就把自己當成自學的學生吧。校內(nèi)學的同學，也可以將學校的教材，同AP微積分的課程大綱做一下對比。如果發(fā)現(xiàn)，學校為你配備了一本不好用的教材，你用得很不舒服，那你要自己額外找1-2本教材輔助。

4. 關(guān)于復習資源、資料

資料、資源在精不在多，請同學們不要圖一時熱鬧和心理安慰而找一堆花里胡哨的，千萬別隨隨便便選擇，因為，同學們最寶貴的學習資源是時間。低質(zhì)量的資源、資料不僅沒幫助，反而是累贅和誤導。

5. 關(guān)于復習、練習

通過練習、解決問題，加深對知識點的理解、熟練，是非常必要的學習步驟。但不少學AP微積分的同學，在練習環(huán)節(jié)出了問題，主要表現(xiàn)為：一是練習時不夠較真，二是不夠重視真題，三是沒有重視計算器的操作。

1）所謂的練習要較真，是指對所做的題要多一些思考、總結(jié)，不能滿足于只是淺淺地刷了些題，簡單地知道答案是什么，而是要真正想清楚題目的解答邏輯、過程以及所依據(jù)的知識。

練習的過程中，還要時常去補充自己的學習筆記。對練習較真還應(yīng)該體現(xiàn)在，自己要多嘗試寫出大題的作答過程，既要思路清晰，過程嚴謹，還要字跡工整。不少同學雖然知識點理解得還不錯，但是容易在AP考試時拿不到大題的步驟分。

遇到不會的、疑惑的，一定要及時、大膽地問專業(yè)的老師。

2）復習階段請一定要好好練習往年真題。有的同學長時間使用某本輔導書上的練習，到非常臨近AP考試才開始練習幾套真題。其實，AP的真題除了能幫同學們好好準備考試，也提供了一個很好的學習標準，許多真題確考查學生理解及運用基礎(chǔ)知識的設(shè)計上，都做得蠻好的。

3）同學們還要注意熟悉計算器的操作。一些細節(jié)還是值得注意的，比如，有的同學不管面對什么樣的方程，都是使用計算器里solve的操作——這樣的話，有的時候會看不到、或者看不全，題中對應(yīng)區(qū)間里的solutions。再比如，不注意選擇radian的單位狀態(tài)的話，算帶著三角函數(shù)的定積分，結(jié)果完全不對。

06

AP微積分培訓課程

學好一門AP課，正常來說，需要分為兩個大的步驟：第一步，一點一點地建立起知識框架，并學習一些相關(guān)的技能、方法；第二步，復習、練習，對知識點達到更好的理解和認知，并能較自如地使用那些技能和方法。

與之相對應(yīng)，我們的AP課程，分為精講班和復習課。前者主要開設(shè)在暑期、秋冬季、圣誕假期、國內(nèi)寒假、春季。后者主要包括精練班和串講沖刺班，一般開設(shè)在3月中下旬至5月初。

在精講班里，我們會從零開始，講解一個個定義、概念、性質(zhì)、計算方法、應(yīng)用，很系統(tǒng)、很詳細，并且搭配講解許多精選的例題，幫助同學們更好地理解、吸收。

復習課，就更考驗一個老師對課程及考試的熟練度和專業(yè)理解了。在復習課里，我們通過講解真題或者梳理考點，幫助同學們查漏補缺，并且強調(diào)易錯點、難點、必考知識點。

【微語】在遠方的天空下, 你勇敢地追尋知識, 每一份努力都會化作未來的星辰, 照亮你的前行之路。