學(xué)AP的中國(guó)學(xué)生，基本都會(huì)選微積分。近幾年，在中國(guó)大陸，每年有大約1萬(wàn)人參加AP微積分BC的考試，大約4000人參加微積分AB的考試。

雖然，中國(guó)學(xué)生AP微積分的考試成績(jī)蠻好，但其實(shí)真正將這門(mén)課學(xué)得很好的學(xué)生，應(yīng)該不超過(guò)20%。如果同學(xué)們想真正學(xué)好這門(mén)課，順便再拿個(gè)5分，請(qǐng)先了解下面這些問(wèn)題：

為什么要學(xué)AP微積分？

需要先具備怎樣的基礎(chǔ)呢？

AP微積分學(xué)些什么？難不難？

怎么學(xué)好AP微積分？有什么建議？

AP微積分培訓(xùn)課程是怎么設(shè)置的？

很多時(shí)候，做好一件事情，最重要的不是真正開(kāi)始后所展現(xiàn)出的勤奮、能力、智商，而是動(dòng)手之前所收集的信息，所做的籌劃、準(zhǔn)備、功課。

01

為什么要學(xué)AP微積分？

不少同學(xué)，只是因?yàn)锳P微積分是學(xué)校的必修課，或者家長(zhǎng)覺(jué)得應(yīng)該學(xué)，才被動(dòng)選擇這門(mén)課的。但如果不自己事先想清楚，為什么要學(xué)這門(mén)課，那在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到理解上的困難時(shí)，便容易煩躁，變成“優(yōu)秀的退堂鼓演員”。

微積分是大學(xué)的一門(mén)重要基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，也是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。作為現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，微積分是許多學(xué)科和專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的必需內(nèi)容。被稱(chēng)為“現(xiàn)代計(jì)算機(jī)之父”和“博弈論之父”的科學(xué)全才馮.諾依曼認(rèn)為，“微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最高成就，對(duì)它的重要性怎樣估計(jì)都不過(guò)分”。

同時(shí)，中國(guó)的留美學(xué)生，大部分選擇了商科、工程學(xué)、數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、自然與生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等專(zhuān)業(yè)，這些專(zhuān)業(yè)都離不開(kāi)微積分。

因此呀，不論是出于因愛(ài)智慧而產(chǎn)生的興趣，還是出于未來(lái)的學(xué)習(xí)需要，微積分都是許多留美同學(xué)的必備課程。

02

學(xué)好AP微積分需要什么基礎(chǔ)條件？

首先，需要先有不錯(cuò)的函數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)。不管是什么課程體系，也不管是自學(xué)還是跟學(xué)校學(xué)的，如果已經(jīng)較好地學(xué)完了高中課程里的三角函數(shù)（trigonometric functions），那就具備了學(xué)微積分的基礎(chǔ)。

具體而言，同學(xué)們學(xué)AP微積分之前，要熟悉這些知識(shí)：對(duì)函數(shù)（function）的理解、冪函數(shù)（power function）、多項(xiàng)式函數(shù)（polynomial function）和有理函數(shù)（rational function）、指數(shù)函數(shù)（exponential function）、對(duì)數(shù)函數(shù)（logrithmic function）、三角函數(shù)、反三角函數(shù)（inverse trigonometric function）、復(fù)合函數(shù)（composite function）、反函數(shù)（inverse function）等。

其次，要確保自己有不少時(shí)間可以分配給這門(mén)課。一部分同學(xué)可能會(huì)低估AP學(xué)習(xí)的難度，高估自己的效率。微積分畢竟是大學(xué)難度級(jí)別的課程，大部分同學(xué)也不是數(shù)學(xué)學(xué)霸，在能投入的時(shí)間又很有限的情況下，就容易學(xué)得迷迷糊糊的。

同時(shí)，同學(xué)們還要有克服一些學(xué)習(xí)困難的決心。學(xué)習(xí)具有一定難度的課程時(shí)，我們有時(shí)候可能會(huì)容易失去耐心、信心，時(shí)常覺(jué)得，“差不多就這樣吧，或許它們就是很難懂，可能我就這智商”?；蛘哂袝r(shí)候會(huì)，“好像都懂了，但還是不會(huì)算、不會(huì)用！我太難了！”

同學(xué)們請(qǐng)一定要意識(shí)到，對(duì)于絕大部分人而言，學(xué)會(huì)一項(xiàng)技藝、一門(mén)“功夫”、一門(mén)課程，就是需要有個(gè)細(xì)品的過(guò)程，就是會(huì)遭遇一些理解和接受上的困難，就是不會(huì)那么舒服。數(shù)學(xué)暢銷(xiāo)書(shū)《怎樣解題》的作者波利亞說(shuō)，“把學(xué)習(xí)和解題當(dāng)作純粹的智力活動(dòng)是錯(cuò)誤的，決心和情緒也起了很重要的作用”。

如果以上三個(gè)基本條件還不具備，我建議先不著急選這門(mén)課——有進(jìn)取心，敢于挑戰(zhàn)自己是對(duì)的，但過(guò)于跳躍地追求進(jìn)步和成長(zhǎng)的話，也很容易在屢屢遭受打擊的過(guò)程中，不斷懷疑自己，慢慢磨去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的信心、興趣，這就弊遠(yuǎn)大于利了。

其實(shí)每年都有一部分同學(xué)，不適合學(xué)AP微積分——硬學(xué)的過(guò)程中，把自己弄得壓力太大、太痛苦了。同學(xué)們的背景和條件各不一樣，無(wú)所謂高低、強(qiáng)弱，不同的樹(shù)有不同的開(kāi)花長(zhǎng)果的時(shí)間。

03

AP微積分學(xué)些什么？

微積分主要是對(duì)無(wú)窮小的量進(jìn)行分析，因?yàn)閷?shí)際的問(wèn)題往往是無(wú)限變化、無(wú)限繁復(fù)的，需要進(jìn)行無(wú)限細(xì)分（微分），或者無(wú)限細(xì)分后再累加（積分）這樣的分析、計(jì)算。

AP微積分BC學(xué)習(xí)的知識(shí)包括極限（limit），導(dǎo)數(shù)（derivative），積分（integral），和無(wú)窮級(jí)數(shù)（infinite series）四塊，這些也就是大部分大學(xué)、專(zhuān)業(yè)的單變量微積分這門(mén)課的主要內(nèi)容。

AP微積分的課程及考試分為AB和BC，前者所學(xué)內(nèi)容差不多占后者的70%，并且完全被后者覆蓋。AB和BC各自所包含的知識(shí)模塊，具體如下表所示：

在美國(guó)的不少大學(xué)，AB對(duì)應(yīng)了其一個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)課程，BC對(duì)應(yīng)了其兩個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)課程。從知識(shí)內(nèi)容的要求來(lái)說(shuō)，學(xué)BC的同學(xué)不需要先學(xué)過(guò)AB。對(duì)于能自由選擇的同學(xué)，如果數(shù)學(xué)底子確實(shí)較弱，但是又一定想學(xué)AP微積分的話，我建議選AB；否則，我建議跳過(guò)AB，直接選BC。

04

AP微積分的考試及難度

AP微積分的考試，考查的重點(diǎn)是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和基本應(yīng)用，只需要有一般的計(jì)算能力，不會(huì)涉及到很復(fù)雜的計(jì)算。AB和BC的試卷結(jié)構(gòu)都是一樣的，試題都是分為兩部分：選擇題和大題，具體分配如下表：

AP微積分考試的卷面滿分為108分，最后成績(jī)會(huì)換算成1至5分，換算的標(biāo)準(zhǔn)可能每年略微不同。微積分BC的5分率（拿5分的學(xué)生所占的比重），不管是算全球考生總的，還是單看中國(guó)考生的，都是常年在40%左右；微積分AB的5分率，一般分別是20%左右（全球）和32%左右（中國(guó)）。

AP微積分的5分率之所以這么高，主要是因?yàn)轭}目出得不算難，并且拿5分的要求不高。一般而言，卷面得分大于等于69分，就能得換算后的5分；56至68的卷面分，即可得換算后的4分。AB和BC的要求差不多。

一般而言，AP達(dá)到4分的成績(jī)，就可以兌換大學(xué)學(xué)分了。具體能換多少學(xué)分，要看各個(gè)學(xué)校自己的政策。

AP微積分BC明明比AB學(xué)的東西多了不少，也被認(rèn)為更有含金量，為何最后的考試結(jié)果，卻是BC的5分率比AB的高了不少呢？

因?yàn)檫@首先是一個(gè)學(xué)前選擇的問(wèn)題：一般而言，認(rèn)為自己數(shù)學(xué)基礎(chǔ)弱一些的同學(xué)會(huì)主動(dòng)選擇學(xué)習(xí)AB；其次，AB考查的知識(shí)點(diǎn)少一些，便在許多考點(diǎn)上換著形式反復(fù)出題，無(wú)形中也增加了一些知識(shí)點(diǎn)的考查難度。此外，有許多學(xué)校規(guī)定學(xué)生得先學(xué)AB，才能學(xué)BC，而B(niǎo)C差不多70%的內(nèi)容就是AB的——這樣的話，一些同學(xué)在學(xué)BC時(shí)，大部分內(nèi)容又在做一遍復(fù)習(xí)。

考試只是手段，不是目的。拿到5分雖然不是很難，但考慮到同學(xué)們能夠投入的時(shí)間比較有限，影響學(xué)習(xí)和心態(tài)的事情又很多，所以，這樣一門(mén)滿是抽象概念的課程，還挺考驗(yàn)少年和小仙女們的。

而且，考試拿到5分是一回事，真正學(xué)得好則是另外一回事。如果想為大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下好的基礎(chǔ)，較自如地繼續(xù)學(xué)習(xí)更高階的數(shù)學(xué)課，還是要在AP學(xué)習(xí)階段就踏踏實(shí)實(shí)做出努力，不要學(xué)個(gè)AP還學(xué)得花里胡哨的、各種糊弄事兒。

05

學(xué)習(xí)建議

總的來(lái)說(shuō)，主要有以下這么幾條：注意時(shí)間和進(jìn)度上的把握；使用有質(zhì)量的、適合自己的學(xué)習(xí)資源、資料；認(rèn)真復(fù)習(xí)、練習(xí)，并且及時(shí)解決問(wèn)題。

1. 關(guān)于時(shí)間和進(jìn)度的安排，對(duì)于要考試的同學(xué)而言，請(qǐng)務(wù)必爭(zhēng)取在3月中旬之前，完成對(duì)課程大綱所要求的知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，然后4月份通過(guò)練習(xí)，以及對(duì)書(shū)本/講義/參考資料/學(xué)習(xí)筆記的復(fù)習(xí)，達(dá)到對(duì)知識(shí)點(diǎn)的更好的理解，以及達(dá)到AP考試的要求。

2. 關(guān)于資料，CB官方并沒(méi)有出AP微積分的教材，只是發(fā)出了一份課程大綱。如果是自學(xué)AP微積分，或者學(xué)校的老師不怎么按AP的方向講課，那請(qǐng)你一定要注意參考官方的課程大綱，看看自己具體應(yīng)該學(xué)會(huì)哪些知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到怎樣的程度，看看自己所用的教材、所聽(tīng)的課有沒(méi)有遺漏、跑偏。

目前最新版的課程大綱是2020年秋季版的，它其實(shí)同2019年的也幾乎沒(méi)有區(qū)別。

3. 對(duì)于教材的選擇，要根據(jù)自己的基礎(chǔ)、習(xí)慣進(jìn)行選擇。

好的教材應(yīng)該是：寫(xiě)得專(zhuān)業(yè)、清楚，邏輯通暢、層層遞進(jìn)，例題解說(shuō)到位、且能很好地幫助學(xué)生理解知識(shí)點(diǎn)的。

AP好教材的標(biāo)準(zhǔn)是：在滿足上述標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，例題不僅能輔助理解知識(shí)點(diǎn)，還多是AP真題的風(fēng)格。

AP的同學(xué)，在市面上較容易見(jiàn)到的微積分教材有：

1）James Stewart 寫(xiě)的

2）Pearson出版的、由Thomas（MIT的老師）寫(xiě)的

3）同濟(jì)大學(xué)編寫(xiě)的《高等數(shù)學(xué)》

4）巴朗的（Barron’s）

5）普林斯頓的（Princeton’s Review）

6）McGraw-Hill的

7）Peterson出的

8）MarkHowell等編寫(xiě)的

其中，前3本不是專(zhuān)門(mén)針對(duì)AP的，都寫(xiě)得很詳細(xì)、專(zhuān)業(yè)；后5本大體是按照AP課程、考試的要求編寫(xiě)的，大都存在一些缺點(diǎn)。

Barron’s相對(duì)而言內(nèi)容比較全，考點(diǎn)說(shuō)明也全，一些習(xí)題編得也蠻不錯(cuò)的，但也有一些不貼近AP風(fēng)格的內(nèi)容和習(xí)題，部分習(xí)題的設(shè)計(jì)思路比較怪異。Princeton’s Review這本作為AP微積分入門(mén)教材還可以，但是太基礎(chǔ)了，甚至有個(gè)別AP考點(diǎn)沒(méi)有在此書(shū)強(qiáng)調(diào)或者解析。

McGraw-Hill的整體框架、質(zhì)量還過(guò)得去的，但也有不少不恰當(dāng)、不詳細(xì)的內(nèi)容，也有存在知識(shí)點(diǎn)總結(jié)羅列過(guò)多的情況，不少練習(xí)題同AP考試的要求也不是很接近；而McGraw-Hill同配套的，簡(jiǎn)直是誤人子弟、辣雞中的戰(zhàn)斗雞。

Peterson出版的這本，編寫(xiě)得還可以的，但是整體有點(diǎn)偏難，基礎(chǔ)稍好的同學(xué)可以使用它。這本是我個(gè)人比較推薦的，編寫(xiě)得很好，只是現(xiàn)在國(guó)內(nèi)可能買(mǎi)不到了，美高同學(xué)可以找找。

對(duì)于自學(xué)微積分的同學(xué)，如果數(shù)學(xué)底子不錯(cuò)，或者大學(xué)準(zhǔn)備學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理等相關(guān)專(zhuān)業(yè)，則適合用前三本中的某一本。喜歡看英文教材的話，則我最推薦James Stewart的，哪個(gè)版本的都行；喜歡看中文的話，則同濟(jì)大學(xué)那本蠻好用的。

自學(xué)的同學(xué)，如果數(shù)學(xué)底子偏弱，則可以搭配使用James Stewart的和巴朗的。在校內(nèi)學(xué)微積分的同學(xué)，如果學(xué)校的老師靠譜，講得好，那你就緊緊跟著老師“天使的步伐”就好，多和老師溝通學(xué)習(xí)，并且注意在后期通過(guò)練習(xí)往年真題，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)和AP考試的理解、把握。

如果學(xué)校的老師不怎么好好講課，那你就把自己當(dāng)成自學(xué)的學(xué)生吧。校內(nèi)學(xué)的同學(xué)，也可以將學(xué)校的教材，同AP微積分的課程大綱做一下對(duì)比。如果發(fā)現(xiàn)，學(xué)校為你配備了一本不好用的教材，你用得很不舒服，那你要自己額外找1-2本教材輔助。

4. 關(guān)于復(fù)習(xí)資源、資料

資料、資源在精不在多，請(qǐng)同學(xué)們不要圖一時(shí)熱鬧和心理安慰而找一堆花里胡哨的，千萬(wàn)別隨隨便便選擇，因?yàn)?，同學(xué)們最寶貴的學(xué)習(xí)資源是時(shí)間。低質(zhì)量的資源、資料不僅沒(méi)幫助，反而是累贅和誤導(dǎo)。

5. 關(guān)于復(fù)習(xí)、練習(xí)

通過(guò)練習(xí)、解決問(wèn)題，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解、熟練，是非常必要的學(xué)習(xí)步驟。但不少學(xué)AP微積分的同學(xué)，在練習(xí)環(huán)節(jié)出了問(wèn)題，主要表現(xiàn)為：一是練習(xí)時(shí)不夠較真，二是不夠重視真題，三是沒(méi)有重視計(jì)算器的操作。

1）所謂的練習(xí)要較真，是指對(duì)所做的題要多一些思考、總結(jié)，不能滿足于只是淺淺地刷了些題，簡(jiǎn)單地知道答案是什么，而是要真正想清楚題目的解答邏輯、過(guò)程以及所依據(jù)的知識(shí)。

練習(xí)的過(guò)程中，還要時(shí)常去補(bǔ)充自己的學(xué)習(xí)筆記。對(duì)練習(xí)較真還應(yīng)該體現(xiàn)在，自己要多嘗試寫(xiě)出大題的作答過(guò)程，既要思路清晰，過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)，還要字跡工整。不少同學(xué)雖然知識(shí)點(diǎn)理解得還不錯(cuò)，但是容易在AP考試時(shí)拿不到大題的步驟分。

遇到不會(huì)的、疑惑的，一定要及時(shí)、大膽地問(wèn)專(zhuān)業(yè)的老師。

2）復(fù)習(xí)階段請(qǐng)一定要好好練習(xí)往年真題。有的同學(xué)長(zhǎng)時(shí)間使用某本輔導(dǎo)書(shū)上的練習(xí)，到非常臨近AP考試才開(kāi)始練習(xí)幾套真題。其實(shí)，AP的真題除了能幫同學(xué)們好好準(zhǔn)備考試，也提供了一個(gè)很好的學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)，許多真題確考查學(xué)生理解及運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的設(shè)計(jì)上，都做得蠻好的。

3）同學(xué)們還要注意熟悉計(jì)算器的操作。一些細(xì)節(jié)還是值得注意的，比如，有的同學(xué)不管面對(duì)什么樣的方程，都是使用計(jì)算器里solve的操作——這樣的話，有的時(shí)候會(huì)看不到、或者看不全，題中對(duì)應(yīng)區(qū)間里的solutions。再比如，不注意選擇radian的單位狀態(tài)的話，算帶著三角函數(shù)的定積分，結(jié)果完全不對(duì)。

06

AP微積分培訓(xùn)課程

學(xué)好一門(mén)AP課，正常來(lái)說(shuō)，需要分為兩個(gè)大的步驟：第一步，一點(diǎn)一點(diǎn)地建立起知識(shí)框架，并學(xué)習(xí)一些相關(guān)的技能、方法；第二步，復(fù)習(xí)、練習(xí)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)達(dá)到更好的理解和認(rèn)知，并能較自如地使用那些技能和方法。

與之相對(duì)應(yīng)，我們的AP課程，分為精講班和復(fù)習(xí)課。前者主要開(kāi)設(shè)在暑期、秋冬季、圣誕假期、國(guó)內(nèi)寒假、春季。后者主要包括精練班和串講沖刺班，一般開(kāi)設(shè)在3月中下旬至5月初。

在精講班里，我們會(huì)從零開(kāi)始，講解一個(gè)個(gè)定義、概念、性質(zhì)、計(jì)算方法、應(yīng)用，很系統(tǒng)、很詳細(xì)，并且搭配講解許多精選的例題，幫助同學(xué)們更好地理解、吸收。

復(fù)習(xí)課，就更考驗(yàn)一個(gè)老師對(duì)課程及考試的熟練度和專(zhuān)業(yè)理解了。在復(fù)習(xí)課里，我們通過(guò)講解真題或者梳理考點(diǎn)，幫助同學(xué)們查漏補(bǔ)缺，并且強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn)、難點(diǎn)、必考知識(shí)點(diǎn)。

【微語(yǔ)】在遠(yuǎn)方的天空下, 你勇敢地追尋知識(shí), 每一份努力都會(huì)化作未來(lái)的星辰, 照亮你的前行之路。