Hello~大家好，想要去英國留學(xué)的同學(xué)們最近學(xué)習(xí)進(jìn)度怎么樣了呢，有沒有遇到什么無法理解的難題和課程。今天學(xué)姐為同學(xué)們分享數(shù)學(xué)專業(yè)課程相關(guān)理論，希望可以幫助廣大留學(xué)生梳理思路，學(xué)姐整理了非常詳細(xì)的流程細(xì)節(jié)可以參考。

方向場(chǎng)和數(shù)值方法

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、畫出給定一階微分方程的方向場(chǎng)。

2、用方向場(chǎng)畫一階微分方程的解曲線。

3、用歐拉方法逼近一階微分方程的解。

創(chuàng)建方向字段

方向場(chǎng)(也稱為斜率場(chǎng))對(duì)于研究一階微分方程很有用。特別地，我們考慮一階微分方程的形式

y′=f(x,y).(8.2.1)

這種類型的微分方程的一個(gè)應(yīng)用例子出現(xiàn)在牛頓冷卻定律中，我們將在本章后面明確求解。首先，讓我們?yōu)槲⒎址匠虅?chuàng)建一個(gè)方向場(chǎng)

T'(t)=?0.4(T?72).(8.2.2)

這里 T(t) 表示對(duì)象在某一時(shí)間的溫度(華氏溫度) t，環(huán)境溫度為 72°F。數(shù)字 8.2.1 顯示了該方程的方向字段。

數(shù)字 8.2.1 :微分方程的方向字段 T'(t)=?0.4(T?72)。繪制了兩個(gè)解:一個(gè)初始溫度小于 72°F 另一種是初始溫度高于 72°F。

方向場(chǎng)背后的思想是這樣一個(gè)事實(shí)，即在給定點(diǎn)計(jì)算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是該函數(shù)在同一點(diǎn)的圖的切線的斜率。我們可以為其創(chuàng)建方向場(chǎng)的微分方程的其他示例包括

y′=3x+2y?4(8.2.3)

y′=x2?y2(8.2.4)

y′=2x+4y?2.(8.2.5)

為了創(chuàng)建方向場(chǎng)，我們從第一個(gè)方程開始: y′=3x+2y?4。我們讓 (x0,y0) 可以是任何有序?qū)?，我們把這些數(shù)字代入微分方程的右邊。例如，如果我們選擇 x=1 和 y=2，代入微分方程的右邊，得到

y'=3x+2y?4=3(1)+2(2)?4=3.

這告訴我們?nèi)绻⒎址匠痰慕?y′=3x+2y?4 穿過這個(gè)點(diǎn) (1,2)，則該點(diǎn)處解的斜率必須等于3。為了開始創(chuàng)建方向場(chǎng)，我們?cè)谠擖c(diǎn)放置一個(gè)短線段 (1,2) 有坡度 3。在函數(shù)的定義域中，我們可以對(duì)任何一點(diǎn)都這樣做 f(x,y)=3x+2y?4,它由所有有序?qū)M成 (x,y) 在 R2。因此，笛卡爾平面上的任何點(diǎn)都有一個(gè)與之相關(guān)的斜率，假設(shè)微分方程的解通過該點(diǎn)。微分方程的方向場(chǎng) y'=3x+2y?4 如圖所示 8.2.2。

使用方向字段

我們可以在不知道實(shí)際解的情況下，使用方向場(chǎng)來預(yù)測(cè)微分方程解的行為。例如，圖中的方向字段 8.2.3 作為微分方程解的行為指南 y′=3x+2y?4.

要使用方向場(chǎng)，我們從選擇場(chǎng)中的任意一點(diǎn)開始。那一點(diǎn)的線段就像一個(gè)路標(biāo)，告訴我們從那里往哪個(gè)方向走。例如，如果微分方程的解通過該點(diǎn) (0,1),那么通過該點(diǎn)的解的斜率由下式給出 y′=3(0)+2(1)?4=?2. 現(xiàn)在讓 x 略微增加，對(duì)說 x=0.1。利用線性近似的方法，給出了一個(gè)近似計(jì)算公式 y 為 x=0.1. 特別是，

L(x)=y0+f'(x0)(x?x0)=1?2(x0?0)=1?2x0.(8.2.6)

取代 x0=0.1 到…里面 L(x) 給出一個(gè)近似值 y 的價(jià)值 0.8。

此時(shí)，解的斜率發(fā)生變化(再次根據(jù)微分方程)。我們可以繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)我們向右邁出一小步時(shí)，重新計(jì)算解決方案的斜率，并觀察解決方案的行為。數(shù)字 8.2.3 顯示了穿過該點(diǎn)的解的圖形 (0,1)。

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