Hello~大家好，加拿大九年級(jí)數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)必修課程的關(guān)鍵基礎(chǔ)學(xué)科，如果同學(xué)們有數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)困難，需要及時(shí)的梳理思路，把問(wèn)題難點(diǎn)解決。今天學(xué)姐為同學(xué)們分享數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課相關(guān)理論知識(shí)，希望可以幫助廣大留學(xué)生梳理思路，學(xué)姐整理了非常詳細(xì)的流程細(xì)節(jié)可以參考。

初值問(wèn)題

通常一個(gè)給定的微分方程有無(wú)窮多個(gè)解，自然會(huì)問(wèn)我們要用哪一個(gè)。要選擇一個(gè)解決方案，需要更多的信息。一些可能有用的具體信息是基礎(chǔ)資料，這是一個(gè)有序?qū)?，用于查找特定的解決方案。

帶有一個(gè)或多個(gè)初始值的微分方程稱(chēng)為初值問(wèn)題。一般規(guī)律是，初值問(wèn)題所需的初值個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)。例如，如果我們有微分方程 y'=2x，那么 y(3)=7 是一個(gè)初值，當(dāng)這些方程合在一起時(shí)，就形成了一個(gè)初值問(wèn)題。微分方程 y′′?3y'+2y=4ex 是二階的，所以我們需要兩個(gè)初始值。對(duì)于大于一階的初值問(wèn)題，自變量應(yīng)使用相同的值。這個(gè)二階方程的初始值的一個(gè)例子是 y(0)=2 和 y'(0)=?1. 這兩個(gè)初值與微分方程一起構(gòu)成一個(gè)初值問(wèn)題。這些問(wèn)題之所以如此命名，是因?yàn)槲粗瘮?shù)中的自變量通常是 t，代表時(shí)間。因此，值為 t=0 代表問(wèn)題的開(kāi)始。

驗(yàn)證初始值問(wèn)題的解決方案

驗(yàn)證該功能 y=2e?2t+et 是初值問(wèn)題的解決方案

y'+2y=3et,y(0)=3.

解決辦法

對(duì)于滿(mǎn)足初值問(wèn)題的函數(shù)，它必須同時(shí)滿(mǎn)足微分方程和初始條件。為了證明這一點(diǎn) y 滿(mǎn)足微分方程，我們開(kāi)始計(jì)算 y'。這給 y'=?4e?2t+et。接下來(lái)我們兩者都替換 y 和 y' 放入微分方程的左邊并簡(jiǎn)化:

y'+2y=(?4e?2t+et)+2(2e?2t+et)=?4e?2t+et+4e?2t+2et=3et.

這等于微分方程的右邊，所以 y=2e?2t+et 解微分方程。接下來(lái)我們計(jì)算 y(0) ：

y(0)=2e?2(0)+e0=2+1=3.

該結(jié)果驗(yàn)證了初始值。因此，給定的函數(shù)滿(mǎn)足初值問(wèn)題。

解決初值問(wèn)題

解決以下初始值問(wèn)題:

y'=3ex+x2?4,y(0)=5.

解決辦法

解決這個(gè)初值問(wèn)題的第一步是找到一個(gè)通用的解族。為此，我們找到微分方程兩邊的反導(dǎo)數(shù)

∫y'dx=∫(3ex+x2?4)dx,

也就是說(shuō)，

y+C1=3ex+13x3?4x+C2。

我們能夠整合兩邊，因?yàn)閥項(xiàng)是自己出現(xiàn)的。請(qǐng)注意，有兩個(gè)積分常數(shù): C1 和 C2。解這個(gè)方程 y 給

y=3ex+13x3?4x+C2?C1.

因?yàn)?C1 和 C2 都是常數(shù)，C2?C1 也是一個(gè)常數(shù)。因此，我們可以定義 C=C2?C1,這導(dǎo)致了等式

y=3ex+13x3?4x+C.

接下來(lái)我們確定 C。為此，我們用 x=0 和 y=5 進(jìn)入這個(gè)方程并求解 C ：

55C=3e0+1303?4(0)+C=3+C=2.

現(xiàn)在我們用價(jià)值代替 C=2 變成一般的方程式。初值問(wèn)題的解決方案是 y=3ex+13x3?4x+2.

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