Hello~大家好，同學(xué)們在數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中是否遇到過困難了呢?蘭卡斯特大學(xué)馬上面臨考試不用慌，今天學(xué)姐為同學(xué)們講述數(shù)學(xué)專業(yè)的課程知識，希望同學(xué)們可以從中找到自己需要的知識。

微分方程的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)目標(biāo)

確定微分方程的階。

解釋微分方程的解是什么意思。

區(qū)分微分方程的通解和特解。

確定一個初始值問題。

確定給定的函數(shù)是微分方程的解還是初值問題。

初值問題

通常一個給定的微分方程有無窮多個解，自然會問我們要用哪一個。要選擇一個解決方案，需要更多的信息。一些可能有用的具體信息是基礎(chǔ)資料，這是一個有序?qū)Γ糜诓檎姨囟ǖ慕鉀Q方案。

帶有一個或多個初始值的微分方程稱為初值問題。一般規(guī)律是，初值問題所需的初值個數(shù)等于微分方程的階數(shù)。例如，如果我們有微分方程 y'=2x，那么 y(3)=七是一個初值，當(dāng)這些方程合在一起時，就形成了一個初值問題。微分方程 y′′?3y'+2y=四ex 是二階的，所以我們需要兩個初始值。對于大于一階的初值問題，自變量應(yīng)使用相同的值。這個二階方程的初始值的一個例子是 y(0)=2 和 y'(0)=?1. 這兩個初值與微分方程一起構(gòu)成一個初值問題。這些問題之所以如此命名，是因?yàn)槲粗瘮?shù)中的自變量通常是 t，代表時間。因此，值為 t=0 代表問題的開始。

驗(yàn)證該功能 y=2e?2t+et 是初值問題的解決方案

y'+2y=3et,y(0)=3.

解決辦法

對于滿足初值問題的函數(shù)，它必須同時滿足微分方程和初始條件。為了證明這一點(diǎn) y 滿足微分方程，我們開始計(jì)算 y'。這給 y'=?四e?2t+et。接下來我們兩者都替換 y 和 y' 放入微分方程的左邊并簡化:

y'+2y=(?四e?2t+et)+2(2e?2t+et)=?四e?2t+et+四e?2t+2et=3et。

這等于微分方程的右邊，所以 y=2e?2t+et 解微分方程。接下來我們計(jì)算 y(0) ：

y(0)=2e?2(0)+e0=2+一=3.

該結(jié)果驗(yàn)證了初始值。因此，給定的函數(shù)滿足初值問題。

解決以下初始值問題:

y'=3ex+x2?四,y(0)=5.

解決辦法

解決這個初值問題的第一步是找到一個通用的解族。為此，我們找到微分方程兩邊的反導(dǎo)數(shù)

∫y'dx=∫(3ex+x2?四)dx,

也就是說，

y+C一=3ex+一3x3?四x+C2。

我們能夠整合兩邊，因?yàn)閥項(xiàng)是自己出現(xiàn)的。請注意，有兩個積分常數(shù): C一 和 C2。解這個方程 y 給

y=3ex+一3x3?四x+C2?C一。

因?yàn)?C一 和 C2 都是常數(shù)，C2?C一 也是一個常數(shù)。因此，我們可以定義 C=C2?C一,這導(dǎo)致了等式

y=3ex+一3x3?四x+C。

接下來我們確定 C。為此，我們用 x=0 和 y=5 進(jìn)入這個方程并求解 C ：

55C=3e0+一303?四(0)+C=3+C=2。

現(xiàn)在我們替換這個值 C=2 變成一般的方程式。初值問題的解決方案是 y=3ex+一3x3?四x+2.

分析

一般解和特殊解的區(qū)別在于，一般解涉及一族獨(dú)立變量的函數(shù)，無論是顯式的還是隱式的。一個或多個初始值決定了解決方案系列中的哪個特定解決方案滿足所需條件。

以上是數(shù)學(xué)課程考試的相關(guān)理論知識，留學(xué)生在國外學(xué)習(xí)遇到考試前的知識梳理問題，都可以找留求藝的老師幫助，祝同學(xué)們都能順利完成學(xué)業(yè)。