滑鐵盧大學(xué)的微分方程導(dǎo)論這門(mén)課程，秋季期末考試日期是2023年12月15號(hào)。雖然現(xiàn)在課程還沒(méi)完全結(jié)束，想要在考試中取得好成績(jī)的同學(xué)，已經(jīng)可以開(kāi)始著手備考咯~

滑鐵盧大學(xué)的微分方程導(dǎo)論課程中，最主要的內(nèi)容是微分方程導(dǎo)論中的導(dǎo)致微分返程的物理系統(tǒng)(比如機(jī)械震動(dòng)、群體動(dòng)力學(xué)和混合過(guò)程)、量綱分析和無(wú)量綱變量、解線(xiàn)性微分方程：一、二階標(biāo)量方程和一階向量方程、解微分方程的拉普拉斯變換方法等。

下面我們給大家分享一些期末考試復(fù)習(xí)題，附有答案和解析，需要的同學(xué)可以先練習(xí)再總結(jié)噢~

1.考慮一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 m(d2x/dt2)+kx=0，其中m是質(zhì)量，k是彈性系數(shù)。求解該微分方程，得到系統(tǒng)的解析解。

答案解析：

該微分方程是一個(gè)二階線(xiàn)性常微分方程，可以設(shè)解為x(t) = Acos(ωt + Φ)，其中A是振幅，ω是角頻率，Φ是相位。將解代入運(yùn)動(dòng)方程，可以得到A和ω的關(guān)系式，進(jìn)一步求解得到解析解。

將x(t) = Acos(ωt + Φ)代入運(yùn)動(dòng)方程，得到-mω2Acos(ωt + Φ) + kAcos(ωt + Φ) = 0。根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可以得到ω=√(k/m)。因此，系統(tǒng)的解析解為x(t) = Acos(√(k/m)t+Φ)。

2.考慮一個(gè)混合過(guò)程，其中物質(zhì)從一個(gè)容器中流出，并以一定速率被另一個(gè)容器中的新鮮物質(zhì)替代。假設(shè)物質(zhì)的流出速率與容器中物質(zhì)的濃度成正比。建立一個(gè)一階線(xiàn)性微分方程來(lái)描述該混合過(guò)程，并求解該微分方程。

答案解析：

設(shè)物質(zhì)的濃度為C(t)，流出速率為kC(t)，其中k是比例常數(shù)。根據(jù)題意，可以建立以下微分方程：dC/dt=-kC。

將微分方程dC/dt=-kC進(jìn)行分離變量并積分，得到∫1/CdC=-∫kdt。解得ln|C|=-kt+C1，其中 C1是積分常數(shù)。進(jìn)一步求解得到解析解為C(t) = C0ekt，其中C0=eC_1。

3.考慮一個(gè)電路中的電感和電阻，其中電感的電流滿(mǎn)足微分方程L(di/dt)+Ri=V(t)，其中 L是電感的感應(yīng)系數(shù)，R是電阻的電阻系數(shù)，V(t)是外加電壓。使用拉普拉斯變換方法求解該微分方程。

答案解析：

對(duì)微分方程兩邊同時(shí)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到Lsl(s)+Rl(s)=V(s)，其中l(wèi)(s)和V(s)分別是電流和電壓的拉普拉斯變換。解得l(s)=V(s)/Ls+R。

將拉普拉斯變換后的表達(dá)式反變換回時(shí)域，得到電流的解析解為I(t)=L-1[V(s)/Ls+R]。

以上就是滑鐵盧大學(xué)微分方程導(dǎo)論期末考試相關(guān)題目分享。備考時(shí)有任何不懂的問(wèn)題，歡迎各位同學(xué)聯(lián)系留求藝的一對(duì)一考前沖刺補(bǔ)習(xí)老師!