加州大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)課程MATh135內(nèi)容涉及拉普拉斯變換、存在唯一性定理、傅立葉級數(shù)、偏微分方程變量解分離、斯特姆-劉維爾理論、變分法、兩點(diǎn)邊值問題、格林函數(shù)，等等。以下是該課程的重點(diǎn)概述。

一、課程概述

MATh135常微分方程課程的目標(biāo)之一是提供微分方程的解法，重點(diǎn)是解決線性微分方程的拉普拉斯變換方法。這種方法將求解線性微分方程的任務(wù)轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)問題。同時(shí)還可以用來解決包含廣義函數(shù)的微分方程(如不連續(xù)或狄拉克函數(shù))。其他解法涉及傅里葉級數(shù)法、本征函數(shù)展開法和攝動(dòng)法。

課程的另一個(gè)目標(biāo)是向?qū)W生介紹常微分方程的理論。該理論的一個(gè)關(guān)鍵部分是確定微分方程解的存在唯一性。就像不是所有代數(shù)方程都有解一樣，也不是所有微分方程都有解。所涉及的定理特別有用，因?yàn)檫@可以確定解的存在和唯一性，而不必解微分方程。

二、課程主題

1、線性常系數(shù)方程的解法及解的性質(zhì)綜述。

2、拉普拉斯變換。正向變換，反向變換。轉(zhuǎn)換對示例。

3、微分方的拉普拉斯變換。用拉普拉斯變換解初值問題。

4、拉普拉斯逆變換的計(jì)算。

5、拉管拉斯變換的存在唯一性。分段連續(xù)函數(shù)。指數(shù)有界函數(shù)。

6、卷積定理的證明。亥維賽膨脹定理。

7、亥維賽函數(shù)和狄拉克分布。單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。使用單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。

8、存在唯一論。沒有唯一解或整體解的微分方程的例子。李普希茨條件；李普希茨常數(shù)的測定。

9、存在唯一性定理證明概述。初步證明；最大范數(shù)，一致收斂，Weierstrauss M-檢驗(yàn)。微分方程與積分方程的等價(jià)性。

10、皮卡德迭代。存在唯一性證明。

11、局部存在唯一性定理。局部存在唯一性定理的應(yīng)用。

12、周期函數(shù)和傅立葉級數(shù)。周期函數(shù)冪級數(shù)通近的不足。傅立葉級數(shù)系數(shù)公式。傅立葉級數(shù)的例子。

13、傅立葉級數(shù)系數(shù)公式的推導(dǎo)。任意區(qū)間上周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)。

14、函數(shù)內(nèi)積。正交函數(shù)。利用內(nèi)積推導(dǎo)傅里葉級數(shù)系數(shù)公式。

15、傅立葉級數(shù)的收斂定理：逐點(diǎn)收斂，平均收斂。

16、兩點(diǎn)邊值問題的特征值和特征函數(shù)。

17、一維熱傳導(dǎo)方程的分離變量解。

18、斯特姆-劉維爾問題。變分法。歐拉極值微分方程。等周問題。

同學(xué)可以將上文中列舉的加州大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)課程MATh135的重點(diǎn)作為自己預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)的框架，從而更好地進(jìn)行學(xué)習(xí)規(guī)劃和安排。