Hello~大家好，可能同學(xué)們也發(fā)現(xiàn)了，由于國內(nèi)外教育方式的不同，很多課程上的知識(shí)點(diǎn)無法自己梳理清楚，筆記也記錄的不是特別全面。今天學(xué)姐為同學(xué)們分享數(shù)學(xué)專業(yè)相關(guān)理論，希望可以幫助廣大留學(xué)生梳理思路，學(xué)姐整理了非常詳細(xì)的流程細(xì)節(jié)可以參考。

主要學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、確定微分方程的階。

2、解釋微分方程的解是什么意思。

3、區(qū)分微分方程的通解和特解。

4、確定一個(gè)初始值問題。

5、確定給定的函數(shù)是微分方程的解還是初值問題。

微積分是變化的數(shù)學(xué)，變化率用導(dǎo)數(shù)表示。因此，使用微積分最常見的方法之一是建立一個(gè)包含未知函數(shù)的方程 y=f(x) 及其導(dǎo)數(shù)，稱為微分方程。求解這樣的方程通常提供關(guān)于量如何變化的信息，并且經(jīng)常提供關(guān)于變化如何以及為什么發(fā)生的洞察。

求解微分方程的技術(shù)可以采取許多不同的形式，包括直接求解、使用圖形或計(jì)算機(jī)計(jì)算。我們在本章中介紹了主要思想，并在課程的后面更詳細(xì)地描述了它們。在本節(jié)中，我們研究什么是微分方程，如何驗(yàn)證它們的解，一些用于求解它們的方法，以及一些常見和有用的方程的例子。

一般微分方程

考慮一下等式 y'=3x2,這是一個(gè)微分方程的例子，因?yàn)樗粋€(gè)導(dǎo)數(shù)。變量之間是有關(guān)系的 x 和 y:y 是的未知函數(shù) x。此外，方程的左手邊是 y。因此我們可以這樣解釋這個(gè)方程:從某個(gè)函數(shù)開始 y=f(x) 取它的導(dǎo)數(shù)。答案必須等于 3x2。什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于 3x2 ?其中一個(gè)功能是 y=x3，所以這個(gè)函數(shù)被認(rèn)為是解決辦法微分方程。

一般和特殊解決方案

我們已經(jīng)注意到微分方程 y'=2x 至少有兩種解決方案: y=x2 和 y=x2+4。這兩個(gè)解唯一的區(qū)別就是最后一項(xiàng)，是常數(shù)。如果最后一項(xiàng)是不同的常數(shù)呢?這個(gè)表達(dá)式還會(huì)是微分方程的解嗎?事實(shí)上，任何形式的功能 y=x2+C，哪里 C 代表任何常數(shù)，也是一種解決方案。原因是，的導(dǎo)數(shù) x2+C 存在 2x，不考慮的值 C?？梢钥闯?，這個(gè)微分方程的任何解都必須是 y=x2+C。這是一個(gè)通解微分方程。這些解決方案的圖表如圖所示 8.1.1。(注意:在這個(gè)圖中，我們使用了介于之間的偶數(shù)整數(shù)值 ?4 和 4。事實(shí)上，對的價(jià)值沒有限制 C ;它可以是整數(shù)，也可以不是。)

在這個(gè)例子中，我們可以自由選擇任何我們希望的解決方案;例如，y=x2?3 是這個(gè)微分方程解族的一員。這叫做微分方程的特殊解。如果給我們關(guān)于問題的額外信息，一個(gè)特定的解決方案通?？梢员晃ㄒ坏刈R(shí)別。

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