同學(xué)們，學(xué)長實(shí)在不知道應(yīng)該說什么了，天氣實(shí)在是太熱了，這么熱的天氣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可能會(huì)很困難，因?yàn)橄奶煳兜勒凉?，同學(xué)們似乎很難靜下心來仔細(xì)的研究那些關(guān)于數(shù)字的理論知識(shí)。

學(xué)姐是能理解同學(xué)們的心情的，沒有辦法，該學(xué)的知識(shí)還是要學(xué)的，考試不會(huì)受天氣影響而延緩到來的時(shí)間，為了不掛科，同學(xué)們?cè)谡n堂上一定要用心領(lǐng)會(huì)老師講的知識(shí)點(diǎn)，記錄好筆記和課件的學(xué)習(xí)，早日完成學(xué)業(yè)。

那么說了那么多沒用的東西，接下來就由學(xué)姐拿出早就整理好的數(shù)學(xué)中微積分的理論知識(shí)來給大家簡(jiǎn)單的講解一下，關(guān)于數(shù)學(xué)課業(yè)中的知識(shí)。

雙積分面積

體積或表面質(zhì)量等于每個(gè)點(diǎn)的面積之和 k,ΔAk 乘以每個(gè)點(diǎn)的高度或表面質(zhì)量密度，由函數(shù)描述，f(x,y)。

使用這個(gè)符號(hào)來尋找面積，我們?cè)O(shè)置f(x,y)(高度或表面質(zhì)量密度)等于1。

體積=面積×高度表面質(zhì)量=面積×表面質(zhì)量密度

如果高度= 1，體積=面積×1如果表面質(zhì)量= 1，表面質(zhì)量=面積×1

所以，體積=面積所以，表面質(zhì)量=面積

因此，我們簡(jiǎn)單地將所有ΔAk值，允許我們找到邊界的面積。為了計(jì)算面積，我們將封閉區(qū)域內(nèi)無限小矩形的面積相加R。當(dāng)分割中的長度和寬度接近零時(shí)，我們找到和的極限。

因此，封閉的有界平面區(qū)域R的面積定義為

平均值

利用二重積分來求體積和面積，我們可以求出函數(shù)的平均值 f(x,y)。

極坐標(biāo)二重積分公式

到目前為止，我們遇到的許多二重積分都涉及到圓，或者至少是表達(dá)式 x2+y2。當(dāng)我們看到這些表達(dá)時(shí)，鈴應(yīng)該響了，我們應(yīng)該喊:“我們不能用極坐標(biāo)嗎?”答案是“是”，但要小心?；叵胍幌?，當(dāng)我們?cè)趩巫兞糠e分中改變變量時(shí)，比如 u=2x，我們需要計(jì)算出拉伸因子 du=2dx。這種想法類似于兩個(gè)變量的積分。當(dāng)我們換到極坐標(biāo)時(shí)，也會(huì)有一個(gè)拉伸因子。這是顯而易見的，因?yàn)椤皹O地區(qū)域”的面積并不像人們預(yù)期的那樣。圖片如下。

正如在其他關(guān)于極坐標(biāo)的章節(jié)中所觀察到的，通過將xyz空間上的函數(shù)轉(zhuǎn)換為不同的坐標(biāo)系，可以更容易地對(duì)它們進(jìn)行積分。這些代換可以使被積函數(shù)和/或積分極限更容易處理，就像“U”代換對(duì)單次積分所做的那樣。在本節(jié)中，我們將把函數(shù)從x-y-z笛卡爾坐標(biāo)平面轉(zhuǎn)換到u-v-w笛卡爾坐標(biāo)平面，以使一些積分更容易求解。

這個(gè)翻譯的一個(gè)關(guān)鍵部分叫做雅可比行列式，或者簡(jiǎn)稱為雅可比,它測(cè)量從一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系時(shí)某一點(diǎn)的體積變化量。

需要注意的是，雖然我們正在改變繪制函數(shù)圖形的坐標(biāo)系，但多重積分背后的理論并沒有改變。積分的極限仍然會(huì)在曲線下創(chuàng)建定義域，積分會(huì)幫助我們找到原始函數(shù)和定義域創(chuàng)建的圖形的體積。

理論探討與描述性闡述

對(duì)于任何給定的函數(shù) f(x,y)，我們可以將x和y定義為其他變量的函數(shù) g(u,v)。為此，我們首先發(fā)現(xiàn) u 和 v 作為...的函數(shù) x 和 y 這將允許更容易的被積函數(shù)。那就解決 x 和 y 為了翻譯該函數(shù) x=g(u,v) and y=h(u,v)。這將區(qū)域從x-y平面中的R轉(zhuǎn)換為u-v平面中的D。

記住:

所以我們必須找到 dA ：

dA 更改自 dxdy 到 |J(u,v)| dudv。u( Δu )和v的變化( Δv )創(chuàng)建小面積的平行四邊形 ΔA 或者dA。我們可以通過取創(chuàng)建平行四邊形的兩個(gè)向量的叉積來找到每個(gè)平行四邊形的面積( Δu and Δv ).

上面這些都是學(xué)姐為大家整理總結(jié)的數(shù)學(xué)微積分學(xué)術(shù)知識(shí)，大家感覺怎么樣，有沒有學(xué)習(xí)到有用的東西呢?就算沒有學(xué)姐也不會(huì)感到悲傷和沮喪，因?yàn)閷W(xué)姐不是專業(yè)老師嘛，所以很正常，專業(yè)知識(shí)的深入研究同學(xué)們可以找加拿大留學(xué)生輔導(dǎo)老師來進(jìn)行，老師可是在海外有多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的呦，比學(xué)姐厲害了不知道多少倍，完全不是一個(gè)級(jí)別的存在，那么今天學(xué)姐就先溜啦，同學(xué)們拜拜~