一、Mathematics I 核心知識(shí)點(diǎn)

1.自然數(shù)及其順序。歸納作為一種證明方法，包括具有非負(fù)積分系數(shù)的二項(xiàng)式定理的證明。

2.Sets，例子包括N、Z、Q、R、C和R中的區(qū)間。包含、并集、交集、冪集、有序?qū)图牡芽柗e。關(guān)系。等價(jià)關(guān)系的定義。

3.函數(shù)：合成、限制;單射(一對(duì)一)、滿射(上)和可逆函數(shù);圖像和預(yù)像。

4.線性方程組。矩陣和矩陣代數(shù)的開始。用矩陣來描述線性方程組。矩陣上的基本行運(yùn)算(EROs)。將矩陣簡(jiǎn)化為階梯形。應(yīng)用于線性方程組的求解。

5.一個(gè)方陣的逆。簡(jiǎn)化的行梯隊(duì)(RRE)形式和使用EROs來計(jì)算逆;該方法的計(jì)算效率。矩陣的位移;正交矩陣。

6.向量空間：場(chǎng)上的向量空間的定義(如R、Q、C)。Subspaces.許多向量空間和子空間的顯式例子。

7.一組向量的跨度。例如，一個(gè)矩陣的行空間和列空間。線性依賴性和獨(dú)立性。向量空間的基礎(chǔ);的例子。Steinitz交換引理;維度。矩陣：行空間和列空間、行秩和列秩。與向量空間的基相關(guān)聯(lián)的坐標(biāo)。

8.使用EROs來尋找子空間的基。子空間的和和交叉點(diǎn);維度公式。子空間的直接和。

9.線性變換：定義和示例(包括與直接和分解相關(guān)的投影)。線性變換的一些代數(shù);相反的。核和圖像，秩零性定理。應(yīng)用程序包括投影的代數(shù)刻畫(如冪等線性變換)。

10.一個(gè)關(guān)于基的線性變換的矩陣?；ɡ淼淖兓?。應(yīng)用程序包括證明一個(gè)矩陣的行秩和列秩是相等的。

11.雙線性的形式，真實(shí)的內(nèi)積空間;例子。提到復(fù)雜的內(nèi)積空間。Cauchy-Swavz不平等。距離和角度。正交矩陣的重要性。

12.關(guān)于方陣行列式的介紹：存在性和唯一性。通過歸納法來證明存在性。通過從行列式的性質(zhì)中推導(dǎo)出顯式公式來證明唯一性。排列矩陣。(沒有關(guān)于排列的一般性討論)。行列式的基本性質(zhì)，與體積的關(guān)系。行列式的乘法性，通過行運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算。

13.行列式和線性變換：線性變換的行列式的定義，乘法性，可逆性和行列式。

14.特征向量和特征值，特征多項(xiàng)式，軌跡。不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。對(duì)角化的討論。特征空間，特征值的幾何和代數(shù)多重性。特征空間形成一個(gè)直接和。

15.革蘭氏施密特程序。實(shí)對(duì)稱矩陣的譜定理。二次形式和實(shí)對(duì)稱矩陣。應(yīng)用譜定理，通過正交變換和平移將二次曲線轉(zhuǎn)化為正規(guī)形式。正交變換的分類聲明。

16.對(duì)于一個(gè)群和一個(gè)交換群的公理。例如，包括幾何對(duì)稱群、矩陣群(GLn、SLn、On、Un)、循環(huán)群。組的產(chǎn)品。

17.在組合下的一個(gè)有限集合的排列。循環(huán)和循環(huán)符號(hào)。命令轉(zhuǎn)位率;每一種排列都可以表達(dá)為轉(zhuǎn)位的產(chǎn)物。一個(gè)排列的奇偶性是通過行列式來明確定義的。排列組的共軛性。

18.重述一個(gè)群中包含同余關(guān)系和共軛關(guān)系的等價(jià)關(guān)系。證明等價(jià)類劃分了一個(gè)集合。輔集和拉格朗日定理的例子。一個(gè)元素的順序。費(fèi)馬特的小定理。

19.軌道穩(wěn)定定理。例子和應(yīng)用，包括柯西定理和共軛類。

二、核心技能要求

1.能夠使用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)符號(hào)來描述、操作和證明關(guān)于集合和函數(shù)的結(jié)果;

2.了解并能夠使用簡(jiǎn)單的關(guān)系;

3.培養(yǎng)良好的推理能力

4.具有遵循和構(gòu)造簡(jiǎn)單證明的能力，包括數(shù)學(xué)歸納法證明(包括強(qiáng)歸納法、最小反例)和矛盾證明;

5.學(xué)習(xí)如何寫出清晰而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)。

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