新加坡的數(shù)學(xué)教育在近幾年的國(guó)際權(quán)威測(cè)評(píng)中表現(xiàn)不俗，它究竟有什么獨(dú)到之處？本文以一道“難倒眾生”的數(shù)學(xué)題為例，介紹了新加坡數(shù)學(xué)以問(wèn)題為導(dǎo)向、以深層次理解為核心，訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維的特點(diǎn)。而設(shè)置開(kāi)放式數(shù)學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與復(fù)雜的真實(shí)世界聯(lián)系起來(lái)的做法，也非常值得我們借鑒。

地球人都知道，中國(guó)孩子的數(shù)學(xué)很厲害。同屬華人文化圈的新加坡，數(shù)學(xué)教育也是非常了得。

2016年11月，國(guó)際數(shù)學(xué)與科學(xué)趨勢(shì)研究項(xiàng)目TIMSS2015的結(jié)果公布，新加坡學(xué)生位列榜首。同年12月6日，OECD 也公布了PISA2015的測(cè)試結(jié)果，新加坡學(xué)生在數(shù)學(xué)、科學(xué)、閱讀三個(gè)領(lǐng)域的排名又都排在了第一。

其實(shí)，在TIMSS 和PISA這兩個(gè)著名的國(guó)際學(xué)生學(xué)業(yè)水平評(píng)估項(xiàng)目中，新加坡一直表現(xiàn)上佳。持續(xù)的高表現(xiàn)引發(fā)了各國(guó)觀察、研究、思考新加坡基礎(chǔ)教育的熱情。

新加坡的數(shù)學(xué)教育對(duì)我們的數(shù)學(xué)教育，有哪些可借鑒之處？

數(shù)學(xué)教育作為新加坡教育的一張名片，其最大的目標(biāo)不是讓學(xué)生“刷題”，而是將問(wèn)題解決置于核心地位。為了讓大家直觀感受新加坡的數(shù)學(xué)教育，先上一道數(shù)學(xué)題！

請(qǐng)聽(tīng)題：

謝麗爾的生日是下列日期中的一個(gè)？

5 月15 日，5 月16 日，5 月19 日，

6 月17 日，6 月18 日，

7 月14 日，7 月16 日，

8 月14 日，8 月15 日，8 月17 日。

謝麗爾把月份告訴了阿爾伯特，把日期告訴了伯納德。

阿爾伯特說(shuō)：“我不知道謝麗爾的生日，但我知道伯納德也不知道?！?/p>

伯納德說(shuō)：“本來(lái)我不知道謝麗爾生日的，但聽(tīng)完阿爾伯特的話，我就確定了?！?/p>

阿爾伯特接著說(shuō)：“那么，現(xiàn)在我也確定謝麗爾的生日了?！?/p>

謝麗爾的生日是哪一天？

你的腦子轉(zhuǎn)過(guò)彎來(lái)了嗎？

這道初中數(shù)學(xué)題曾在社交媒體上病毒式傳播，“難倒了眾生”。

這道新加坡用來(lái)測(cè)試14~15 歲中學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的題是為學(xué)業(yè)水平較高的學(xué)生準(zhǔn)備的，但之所以出這種題型，并非出題的新加坡南洋理工大學(xué)喜歡標(biāo)新立異，而是因?yàn)檫@道題契合了新加坡數(shù)學(xué)教育的理念：注重對(duì)數(shù)學(xué)概念的深層次理解，以便達(dá)到建立于理解之上的掌握乃至精通。而這正是新加坡數(shù)學(xué)教育方式為各國(guó)教育者熟知的一個(gè)顯著特點(diǎn)，也是新加坡數(shù)學(xué)教材走向世界的“賣點(diǎn)”。

▲ 新加坡數(shù)學(xué)課程“出口”多個(gè)國(guó)家

秘訣之一

“看上去很好理解”

上世紀(jì)八十年代，新加坡開(kāi)啟了從識(shí)記型教育向深層次理解型教育的大轉(zhuǎn)型，新加坡教育部的課程設(shè)計(jì)專家們借鑒美國(guó)著名認(rèn)知心理學(xué)家和教育家杰羅姆·布魯納的相關(guān)理論，開(kāi)發(fā)出了數(shù)學(xué)教學(xué)的三步法。布魯納將學(xué)習(xí)的過(guò)程分為三個(gè)步驟：運(yùn)用實(shí)物—使用圖畫(huà)—運(yùn)用符號(hào)，這就是新加坡數(shù)學(xué)三步法“實(shí)物—圖畫(huà)—抽象”三步法的理論淵源。

在三步法的框架下，新加坡的學(xué)生，尤其是小學(xué)生，每堂數(shù)學(xué)課都是從積木、骰子、紙牌、硬幣等實(shí)物開(kāi)始的，這很容易理解，類似于我們教幼齡兒童數(shù)手指。

第二步是圖畫(huà)（pictorial），但不是山水花鳥(niǎo)，而是條狀圖。這是一種簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模，學(xué)生畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)條代表一個(gè)確定的數(shù)量，再按照比例畫(huà)出與之相比較的數(shù)量，是大還是小，大多少、小多少，立刻一目了然了。

第三步才是抽象的列算式演算。

▲ 減法的條狀圖模型

▲ 乘法的條狀圖模型

條狀圖建模讓學(xué)生得以直觀地觀察到數(shù)量之間的關(guān)系，也能在解答問(wèn)題時(shí)“看到”抽象的概念，因此，會(huì)“看起來(lái)很好懂”。這比傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)多出了前兩個(gè)步驟，力圖讓低齡的學(xué)生通過(guò)具象、可感的方式掌握數(shù)學(xué)方法，理解數(shù)學(xué)概念，被多國(guó)教育研究專家視為新加坡學(xué)生能夠在PISA、TIMSS 上表現(xiàn)強(qiáng)勁的決勝法寶。

在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，課程專家們也會(huì)首先考慮和學(xué)生的生活密切相關(guān)的場(chǎng)景，這樣有利于下一步學(xué)生根據(jù)熟悉的情境快速建立起條狀圖模式，開(kāi)始解題。

秘訣之二

“做起來(lái)很好理解”

到了中學(xué)階段，知識(shí)的理解，以及基于理解的應(yīng)用就很大程度上依靠學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力了，這個(gè)階段，以學(xué)生為中心的教學(xué)法就派上了用場(chǎng)。

在著名的萊佛士女子中學(xué)，數(shù)學(xué)教師的授課方式就是典型的學(xué)生中心型。以三角函數(shù)部分為例，當(dāng)講到“sin（x）+cos（x）= ？”時(shí)，老師會(huì)讓學(xué)生把sin（x）的正弦圖和cos（x）的余弦圖上的點(diǎn)一個(gè)一個(gè)地疊加起來(lái)，繪出一幅新的圖。這樣，學(xué)生就發(fā)現(xiàn)：疊加起來(lái)之后，真的是一幅新的三角函數(shù)的圖，而不是其他無(wú)規(guī)律的圖。有些老師甚至?xí)膭?lì)學(xué)生自行推導(dǎo)出微積分的公式來(lái)。

而當(dāng)學(xué)到的知識(shí)能夠用到生活當(dāng)中時(shí)，理解的深度就被進(jìn)一步拓展了。數(shù)學(xué)建模就是其中的一個(gè)例子。

比方說(shuō)，三角函數(shù)中的圖形轉(zhuǎn)變，內(nèi)容很艱深，單靠授課會(huì)很枯燥，教師就給學(xué)生布置相關(guān)的專題作業(yè)，比方說(shuō)研究某地的氣溫變化狀況，并嘗試用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)建模，最后預(yù)測(cè)該地此后一段時(shí)間的氣溫。如此一來(lái)，便把抽象的數(shù)學(xué)置于學(xué)生熟悉的某個(gè)環(huán)境中去，可以讓他們清晰地看到數(shù)學(xué)作為一門(mén)精確的科學(xué)，是如何簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題的，也能體會(huì)到學(xué)以致用的樂(lè)趣。

有時(shí)候，學(xué)生甚至欣喜地發(fā)現(xiàn)：自己“發(fā)明”了一個(gè)數(shù)學(xué)定理，因?yàn)樗皇墙處熢谡n堂上逐步逐步傳授的，而是自己利用線索、分析研究得出來(lái)的。

有的數(shù)學(xué)老師甚至?xí)?qǐng)學(xué)校其他學(xué)科的老師一起來(lái)建有趣的“?！?，如物理、化學(xué)、生物、數(shù)學(xué)老師大聯(lián)手，將一個(gè)廁所偽造成犯罪現(xiàn)場(chǎng)，邀請(qǐng)學(xué)生來(lái)做偵探，進(jìn)行調(diào)查研究。

秘訣之三

很有趣，也很實(shí)用

這下，我們就能理解，文章開(kāi)頭那道“難倒眾生”的題目是如何進(jìn)入新加坡初中生的試卷中的。因?yàn)閿?shù)學(xué)概念和定理就是這樣被猜測(cè)、理解和“發(fā)現(xiàn)”的。

答案在此：

除了數(shù)學(xué)邏輯思維，“謝麗爾的生日”還可作為統(tǒng)計(jì)學(xué)上“成比例錯(cuò)誤減少”概念的生動(dòng)顯現(xiàn)。

謝麗爾的生日由兩個(gè)變量組成：月份和日期，在缺乏任何補(bǔ)充條件的情況下，可能的生日有10 個(gè)，如果隨機(jī)猜測(cè)的話，猜對(duì)的可能性只有10%，猜錯(cuò)的可能性高達(dá)90%。如何逐步減少猜錯(cuò)的概率，直至零呢？這就需要借助月份和日期之間存在的強(qiáng)相關(guān)性（比如，日期是18 日的話，月份只能是6 月，關(guān)聯(lián)性高達(dá)100%）以及題干陳述中給出的條件成組或逐個(gè)排除選項(xiàng)。

首先，阿爾伯特說(shuō)：“……但我知道伯納德也不知道?！闭f(shuō)明日期不是18日、19日（它們分別和相應(yīng)的月份100% 相關(guān)），阿爾伯特只有在聽(tīng)到的月份不是5月或6月時(shí)，才可以肯定伯納德不可能獲知18日或19日，于是將可選項(xiàng)縮減為5個(gè)，猜錯(cuò)的概率下降為80%。

緊接著，從阿爾伯特的陳述中，伯納德推測(cè)出，阿爾伯特獲知的是7月或8 月，由此確定謝麗爾的生日，說(shuō)明他獲知的日期不是14 日，否則他仍然確定不了，進(jìn)一步將選項(xiàng)縮減到7月16日、8 月15日、8 月17日，猜錯(cuò)概率進(jìn)一步降為66%。

決定性的一步在于阿爾伯特的陳述：“哦，現(xiàn)在我也確定謝麗爾的生日了?！备鶕?jù)伯納德的話，阿爾伯特推測(cè)他聽(tīng)到的日期是15日、16日、17日中的一個(gè)，但如果他獲知的是8月，還是不能確定謝麗爾的生日，所以只能是7月，7月只有一個(gè)選項(xiàng)存在，猜錯(cuò)概率下降為零。

“謝麗爾的生日”在鍛煉邏輯思維的同時(shí)，吸引著學(xué)生一步一步探索、認(rèn)識(shí)，并深刻理解了“成比例錯(cuò)誤減少”的概念，可以說(shuō)是新加坡數(shù)學(xué)教育的一個(gè)有趣的折射。

新加坡數(shù)學(xué)課程

以數(shù)學(xué)問(wèn)題解決為核心

在新加坡，學(xué)校的數(shù)學(xué)課程是由教育中心設(shè)置的。中小學(xué)所有年級(jí)都實(shí)施相同的課程，課程明確了每個(gè)年級(jí)的內(nèi)容覆蓋范圍和評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)。自20 世紀(jì)80 年代末期起，新加坡的數(shù)學(xué)課程就以“元框架”為構(gòu)思核心，課程的規(guī)劃和修訂都是以其為基準(zhǔn)的。

從這個(gè)課程框架圖中可以看出，新加坡數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)將數(shù)學(xué)問(wèn)題解決置于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心地位。

比如，2013 年，新加坡一所街區(qū)小學(xué)的一組教師根據(jù)大綱中數(shù)學(xué)教學(xué)的原則，設(shè)計(jì)了一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題解決的任務(wù)——餐館問(wèn)題。

餐館問(wèn)題設(shè)置了一個(gè)情境：學(xué)生在一次聚餐中要花費(fèi)大約30美元的錢(qián)。學(xué)生們需要從14 個(gè)菜品中選擇消費(fèi)，前提是能保證小組中的每個(gè)人都有一杯飲料并可以選擇甜品。而這些菜的價(jià)格是這樣設(shè)置的：1 籃炸雞翅12 個(gè)共18 美元、1 杯橙汁2.5 美元、3 支冰淇淋4.5 美元，等等。這個(gè)任務(wù)涉及到數(shù)字的加減乘除等知識(shí)點(diǎn)，但其考驗(yàn)的最核心部分是學(xué)生的規(guī)劃組合能力。

而在接觸到真正的問(wèn)題之前，作為過(guò)渡，教師向?qū)W生展示了與這個(gè)問(wèn)題原理相似但是在情境上經(jīng)過(guò)優(yōu)化的問(wèn)題，即前置任務(wù)。前置任務(wù)是書(shū)店問(wèn)題，要求學(xué)生在學(xué)校的書(shū)店中花費(fèi)整整2 美元。學(xué)生需要從9 種文具中選擇消費(fèi)，比如，有鉛筆、橡皮、鋼筆和尺子等文具，它們的價(jià)格分別為10 美分、20 美分、30 美分、50 美分，等等。

與之相對(duì)應(yīng)的，針對(duì)這種轉(zhuǎn)變，新加坡教育部也在教學(xué)方法指導(dǎo)上作了變革。

在數(shù)學(xué)課程中，問(wèn)題解決的啟發(fā)法是作為教學(xué)過(guò)程的一部分被寫(xiě)入大綱的。

小學(xué)水平的教學(xué)大綱中列出了11 種問(wèn)題解決啟發(fā)法，包括“表演出來(lái)”“使用圖表/ 模型”和“解決問(wèn)題的一部分”等；中學(xué)水平的教學(xué)大綱列出了13 種啟發(fā)法，其中有2 種是小學(xué)大綱中沒(méi)有的，即“使用方程”和“思考相關(guān)的問(wèn)題”。

近年來(lái)，新加坡學(xué)者一直致力于基于真實(shí)情境的問(wèn)題解決的課堂教學(xué)改革，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也越來(lái)越多地接觸到完整的開(kāi)放式任務(wù)。比如，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，以綜合的開(kāi)放式任務(wù)作為評(píng)價(jià)策略的實(shí)驗(yàn)；在小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)中，使用完整的開(kāi)放式數(shù)學(xué)任務(wù)的經(jīng)驗(yàn)和困難的調(diào)查。

有研究表明，通過(guò)使用“腳手架”和有意義的解釋，學(xué)生們能積極地參與高層次的認(rèn)知思考，而需要聯(lián)系前后文的開(kāi)放式數(shù)學(xué)任務(wù)正是這樣的存在，其真實(shí)性為學(xué)生提供了在討論中提升個(gè)人價(jià)值和自信的機(jī)會(huì)。

此外，讓學(xué)生接觸這種開(kāi)放式數(shù)學(xué)任務(wù)能讓學(xué)生體會(huì)到真實(shí)世界的復(fù)雜性。在問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生們能將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與真實(shí)世界聯(lián)系起來(lái)。