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微分方程基礎(chǔ)學(xué)習(xí)目標(biāo)

確定微分方程的階。

解釋微分方程的解是什么意思。

區(qū)分微分方程的通解和特解。

確定一個(gè)初始值問題。

確定給定的函數(shù)是微分方程的解還是初值問題。

一般微分方程

考慮一下等式 y'=3x2,這是一個(gè)微分方程的例子，因?yàn)樗粋€(gè)導(dǎo)數(shù)。變量之間是有關(guān)系的 x 和 y:y 是的未知函數(shù) x。此外，方程的左手邊是 y。因此我們可以這樣解釋這個(gè)方程:從某個(gè)函數(shù)開始 y=f(x) 取它的導(dǎo)數(shù)。答案必須等于 3x2。什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于 3x2 ?其中一個(gè)功能是 y=x3，所以這個(gè)函數(shù)被認(rèn)為是解決辦法微分方程。

等式

y′=2x

y′+3y=6x+11

y′′?3y′+2y=24e?2x

解決方法

y=x2

y=e?3x+2x+3

y=3ex?4e2x+2e?2x

驗(yàn)證微分方程的解

驗(yàn)證該功能 y=e?3x+2x+3 是微分方程的解 y'+3y=6x+11。

解決辦法

為了驗(yàn)證解決方案，我們首先計(jì)算 y' 對(duì)導(dǎo)數(shù)使用鏈?zhǔn)椒▌t。這給 y'=?3e?3x+2。接下來(lái)我們替換 y 和 y' 在微分方程的左邊:

(?3e?2x+2)+3(e?2x+2x+3).

得到的表達(dá)式可以通過首先分布以消除括號(hào)來(lái)簡(jiǎn)化，給出

?3e?2x+2+3e?2x+6x+9.

將相似的術(shù)語(yǔ)組合在一起就產(chǎn)生了這個(gè)表達(dá)式 6x+11，等于微分方程的右邊。這一結(jié)果證明 y=e?3x+2x+3 是微分方程的解。

確定微分方程的階

方程中的最高導(dǎo)數(shù)是 y',

以下每個(gè)微分方程的階數(shù)是多少?

A.y'?4y=x2?3x+4

B.x2y′′′?3xy′′+xy'?3y=sinx

C.4xy(4)?6x2y′′+12x4y=x3?3x2+4x?12

解決辦法

A.方程中的最高導(dǎo)數(shù)是 y'，所以順序是 1。

B.方程中的最高導(dǎo)數(shù)是 y′′′，所以順序是 3。

C.方程中的最高導(dǎo)數(shù)是 y(4)，所以順序是 4。

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