學(xué)習(xí)泛函分析需要怎樣的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)呀?

一般大學(xué)的高數(shù)和線代恐怕還不夠，起碼要升級(jí)到數(shù)學(xué)系的數(shù)分和高代，如果再學(xué)點(diǎn)基本的點(diǎn)集拓?fù)浜蛯?shí)變函數(shù)就更好了。如果說(shuō)數(shù)學(xué)分析實(shí)變函數(shù)是泛函的“形”，那么高等代數(shù)則是泛函的“魂”。泛函分析將數(shù)學(xué)中的兩大結(jié)構(gòu)“代數(shù)結(jié)構(gòu)”和“拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”聯(lián)系了起來(lái)，一方面將有限維的高等代數(shù)擴(kuò)展到了無(wú)窮多維，另一方面又是利用代數(shù)學(xué)的技巧來(lái)處理分析學(xué)（數(shù)學(xué)分析，微分方程等）的問(wèn)題，因此泛函可以看作一門之前所學(xué)課程的集大成者（數(shù)分、高代、常微分方程、實(shí)變函數(shù)等），從更高的觀點(diǎn)來(lái)理解之前所學(xué)的學(xué)科。

如果以后打算繼續(xù)深造的話基本上就是控制理論和模式識(shí)別兩個(gè)方向。對(duì)于控制我只知曉皮毛，但據(jù)我淺薄的了解泛函分析已經(jīng)成了現(xiàn)代控制理論非常重要的基石，掌握得多好都不過(guò)分。模式識(shí)別（也就是目前大火的人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)方向）其實(shí)用不到太多的泛函分析（做理論的當(dāng)我沒說(shuō)。。Vapink 的上古神書 Statistical Learning Theory隨便翻一翻就知道了），更多的還是大多數(shù)人所說(shuō)的數(shù)學(xué)分析、矩陣論、概率統(tǒng)計(jì)、優(yōu)化等。當(dāng)然我認(rèn)為“函數(shù)空間”這一觀點(diǎn)還是非常重要的，將不可數(shù)無(wú)窮維的函數(shù)也看作空間中的一個(gè)點(diǎn)，例如數(shù)據(jù)挖掘比賽中大量使用的GBDT（Gradient Boosting Decision Tree）就用到了函數(shù)空間的思想，雖然它只用n個(gè)樣本來(lái)近似這個(gè)函數(shù)。