同學們大家學習辛苦啦，在炎熱的夏天，刻苦學習的同學們也應該適當?shù)姆潘梢幌律硇模倚┳约旱呐d趣愛好來輔助自己平時學習的壓力，放松一下心情，當然了，這些都建立在不影響大家完成自己的學業(yè)的前提下。

最近學長收到了很多溫莎大學同學發(fā)來的求助私信，說物理學的論文卡住了，不知道應該如何完成，其實學長看到物理學這門學科也挺頭疼的，關鍵問題還是在于學長不知道大家的主要問題出在了哪里，如果是留求藝的專業(yè)加拿大論文輔導老師出馬，可能就好了。

話雖如此說，不過學長還是盡到了自己最大的力量，幫助同學們找到了一些關于溫莎大學物理學相關的一些知識要點，希望對同學們的學術(shù)論文寫作有所幫助。

集成的物理應用

1、從一維物體的線性密度函數(shù)確定其質(zhì)量。

2、從二維圓形物體的徑向密度函數(shù)確定其質(zhì)量。

3、計算沿直線作用的可變力所做的功。

4、計算將液體從一個高度泵到另一個高度所做的功。

5、求沉入水中的垂直板的靜水壓力。

質(zhì)量和密度

我們可以用積分來發(fā)展一個基于密度函數(shù)計算質(zhì)量的公式。首先我們考慮一根細桿或細線。調(diào)整桿的方向，使其與對齊 x -軸，桿的左端位于 x=a 桿的右端位于 x=b (圖 1.6.1 ).請注意，雖然我們在圖中描繪了具有一定厚度的桿，但出于數(shù)學目的，我們假設桿足夠薄，可以被視為一維物體。

如果桿具有恒定的密度ρρ，以單位長度的質(zhì)量給出，那么桿的質(zhì)量只是密度和桿的長度的乘積:(b?a)ρ(b?a)ρ。然而，如果桿的密度不是恒定的，問題就變得更有挑戰(zhàn)性了。當桿的密度從一點到另一點變化時，我們使用線性密度函數(shù)，ρ(x)ρ(x)為了表示桿在任何點的密度，xx。讓ρ(x)ρ(x)是可積的線性密度函數(shù)。現(xiàn)在，為了i=0,1,2,…,ni=0,1,2,…,n讓p=xip=xi是區(qū)間的規(guī)則劃分[a,b][a,b]，并且對于i=1,2,…,ni=1,2,…,n選擇任意點x?i∈[xi?1,xi]xi?∈[xi?1,xi]。數(shù)字1.6.21.6.2顯示了桿的代表性部分。

質(zhì)量mimi桿的一部分xi?1xi?1到xixi近似為

mi≈ρ(x?i)(xi?xi?1)

? =ρ(x?i)Δx.mi≈ρ(xi?)(xi?xi?1)=ρ(xi?)Δx.

將所有線段的質(zhì)量相加，我們可以得到整個桿的質(zhì)量近似值:

m=∑i=1nmi

? ≈∑i=1nρ(x?i)Δx.m=∑i=1nmi≈∑i=1nρ(xi?)Δx.

這是一個黎曼和。以極限為n→∞n→∞，我們得到了桿的精確質(zhì)量的表達式:

m=limn→∞∑i=1nρ(x?i)Δx

? =∫baρ(x)dx.

我們現(xiàn)在把這個概念推廣到尋找二維半徑圓盤的質(zhì)量rr。就像我們在一維情況下看到的桿一樣，這里我們假設圓盤足夠薄，出于數(shù)學目的，我們可以將其視為二維物體。我們假設密度是以單位面積質(zhì)量給出的(稱為表面密度)，并進一步假設密度僅沿磁盤半徑變化(稱為徑向密度).我們將磁盤定向在xy?planexy?plane，以原點為中心。那么，盤的密度可以被視為xx，表示為ρ(x)ρ(x)。我們假設ρ(x)ρ(x)是可積的。因為密度是xx，我們將區(qū)間從[0,r][0,r]沿著xx軸。為i=0,1,2,…,ni=0,1,2,…,n，讓p=xip=xi是區(qū)間的規(guī)則劃分[0,r][0,r]，并且對于i=1,2,…,ni=1,2,…,n，選擇任意一點x?i∈[xi?1,xi]xi?∈[xi?1,xi]?，F(xiàn)在，使用分區(qū)將磁盤分成薄的(二維)墊圈。下圖描述了一個圓盤和一個代表性的墊圈。

我們現(xiàn)在近似墊圈的密度和面積來計算近似質(zhì)量，mimi。請注意，墊圈的面積由下式給出

Ai=π(xi)2?π(xi?1)2

? =π[x2i?x2i?1]

? =π(xi+xi?1)(xi?xi?1)

? =π(xi+xi?1)Δx.

你可能還記得，當我們用殼計算體積時，有一個類似的表達式。正如我們在那里所做的，我們使用x?i≈(xi+xi?1)/2xi?≈(xi+xi?1)/2以近似墊圈的平均半徑。我們獲得

Ai=π(xi+xi?1)Δx≈2πx?iΔx.

使用ρ(x?i)ρ(xi?)為了近似墊圈的密度，我們通過下式近似墊圈的質(zhì)量

mi≈2πx?iρ(x?i)Δx.

把墊圈的質(zhì)量加起來，我們看到了質(zhì)量mm整個磁盤的大約

m=∑i=1nmi≈∑i=1n2πx?iρ(x?i)Δx.

我們再次認識到這是一個黎曼和，并把極限作為n→∞.n→∞.這給了我們

m=limn→∞∑i=1n2πx?iρ(x?i)Δx=∫r02πxρ(x)dx.

上面這些就是學長為大家辛苦總結(jié)出來的物理學中的某個知識點啦，可能學長只是為大家總結(jié)一些淺顯的東西，論文寫作方面的內(nèi)容還需要留求藝的加拿大留學生論文輔導老師老幫忙了，學長預祝大家都能順利完成自己的論文。