多倫多大學(xué)商業(yè)數(shù)學(xué)方向有一門(mén)微積分與證明課程，以下直接用課程代碼MAT137Y1表述。MAT137Y1這門(mén)課程有很多基礎(chǔ)知識(shí)和技能需要掌握，為了幫助同學(xué)們更好地掌握這門(mén)課程，多倫多大學(xué)的在線課程為學(xué)生提供了豐富的線上作業(yè)以及各類測(cè)驗(yàn)和視頻練習(xí)材料等。下面我們主要分析兩個(gè)經(jīng)典題目和同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中比較容易出錯(cuò)的地方。

一、MAT137Y1例題

1.問(wèn)題一：

0·∞是一種極限不確定的形式。這意味著，當(dāng)計(jì)算一個(gè)極限時(shí)，如果我們遇到0·∞，我們不能僅基于這個(gè)信息得出極限的值。證明該限制的實(shí)際值可以是任何實(shí)數(shù)。你可以在某個(gè)點(diǎn)(在實(shí)數(shù)上)使用限制，或在∞或?∞使用邊限制。

2.問(wèn)題二：

設(shè)a

這是定義良好的。換句話說(shuō)，這個(gè)集合必須有一個(gè)上值，你需要證明它。

二、題目解析

1.問(wèn)題一答案：

令c∈R，我們構(gòu)造一個(gè)具有實(shí)際極限c的0·∞的極限不確定形式的例子。

設(shè)f是由f (x) = x定義的函數(shù)。請(qǐng)注意，limx→∞f (x) =∞。

設(shè)g是由g (x) = c /x定義的函數(shù)。請(qǐng)注意，limx→∞g (x) = 0.

因此，極限值limx→∞g(x)f(x)是0·∞型的一種不確定形式。此外limx→∞g(x)f(x)=limx→∞h c x·x i=limx→∞[c/x·x]=linx→∞c=c

請(qǐng)注意，c是一個(gè)任意的實(shí)數(shù)。這證明了0·∞的極限不確定形式可以是任何實(shí)數(shù)。

2.問(wèn)題二答案：

定義集合：A = {Lp (f) | p is a partition of [a,b]} .

我們將證明A是有界的，并且是非空的。然后，根據(jù)最小上限的性質(zhì)，它必須有一個(gè)上值。

集A不是空的，因?yàn)橹辽俅嬖谝粋€(gè)分區(qū)。例如，讓我們?nèi)∑椒驳姆謪^(qū)Q = {a，b}。然后是LQ (f)∈A，集合A至少有一個(gè)元素，所以它不是空的。為了顯示A在上面是有界的，讓我們固定一個(gè)分區(qū)。例如，讓我們?nèi)∑椒驳姆謪^(qū)Q = {a，b}。然后，通過(guò)上和和上和的性質(zhì)我們知道? partitions p of [a,b],Lp (f) ≤ UQ(f)

因此，A中的每個(gè)數(shù)字都小于或等于UQ (f)，UQ (f)是A的上界，而a在上有界。

注意：當(dāng)證明A在上有界時(shí)，重要的是約束所有的下和與相同的上和。你需要找到一個(gè)數(shù)字x，這樣所有分區(qū)p的Lp (f)≤x;數(shù)字x不能依賴于p。特別是如果你對(duì)所有分區(qū)p，Lp (f)≤Up (f)寫(xiě)它，你就沒(méi)有找到A的上界。

三、易錯(cuò)點(diǎn)分析

1.問(wèn)題一易錯(cuò)點(diǎn)：

題目要求你證明0·∞類型的極限不確定形式可以是任何實(shí)數(shù)，而不僅僅是證明它可以是某個(gè)數(shù)。

有些同學(xué)可能試圖證明泛型函數(shù)f和g，而不是建立特定的例子。這在這種情況下是沒(méi)有意義的。

2.問(wèn)題二易錯(cuò)點(diǎn)：

要使用LUB原理，你需要證明一個(gè)集合是有界的和非空的。

為了證明下和的集合是有界的，你需要找一個(gè)數(shù)x來(lái)做? partitions p,Lp (f) ≤ x

數(shù)字x不能依賴于p。對(duì)于所有分區(qū)，它必須是相同的數(shù)字。如果你寫(xiě)了類似? partitions p,Lp (f) ≤ Up (f)，那么你還沒(méi)有找到一個(gè)上限。

有些同學(xué)假設(shè)I b a (f)存在，然后繼續(xù)“證明”它等于較低和集合的上值。這不是題目問(wèn)你的，而且也毫無(wú)意義!如果你假設(shè)I b a (f)存在，那么根據(jù)定義，它是較低和集合的上值：沒(méi)有什么可證明的!

有同學(xué)可能假定f不是可積的(而且，它與問(wèn)題無(wú)關(guān))，也是易錯(cuò)點(diǎn)之一。

以上是微積分與證明課程的兩個(gè)例題分析，同學(xué)們?cè)谡n程學(xué)習(xí)中遇到難題，歡迎咨詢留求藝的專業(yè)老師尋求更完整且更專業(yè)的解答。