如今，數(shù)學(xué)在科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的作用必不可少。數(shù)學(xué)對(duì)這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱(chēng)為應(yīng)用數(shù)學(xué)，有時(shí)亦會(huì)激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，并導(dǎo)致全新學(xué)科的發(fā)展。數(shù)學(xué)家也研究純數(shù)學(xué)，就是數(shù)學(xué)本身的實(shí)質(zhì)性?xún)?nèi)容，而不以任何實(shí)際應(yīng)用為目標(biāo)。雖然研究以純數(shù)學(xué)開(kāi)始，但其過(guò)程中也發(fā)現(xiàn)應(yīng)用之處。

主要研究領(lǐng)域：

數(shù)學(xué)最開(kāi)始的研究領(lǐng)域?yàn)橐韵滤姆N：商業(yè)上計(jì)算的需要、了解數(shù)字間的關(guān)系、測(cè)量土地，以及預(yù)測(cè)天文事件。這四大類(lèi)領(lǐng)域與數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及變化（即算術(shù)、代數(shù)、幾何及分析）等子領(lǐng)域相關(guān)連。除了上述主要領(lǐng)域之外，也有用來(lái)探索由數(shù)學(xué)核心與其他領(lǐng)域相關(guān)聯(lián)的子領(lǐng)域：例如邏輯、集合論、不同科學(xué)的經(jīng)驗(yàn)上的數(shù)學(xué)（應(yīng)用數(shù)學(xué)）、以及不確定性的研究。美國(guó)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)也是對(duì)這幾個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行研究。

基礎(chǔ)與哲學(xué)：

數(shù)學(xué)邏輯和集合論等領(lǐng)域用來(lái)闡明數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)邏輯專(zhuān)注于將數(shù)學(xué)置在一堅(jiān)固的公理架構(gòu)上，并研究此架構(gòu)的結(jié)果。現(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，并且和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)有著密切的關(guān)連。

純粹數(shù)學(xué)：

1）數(shù)量。數(shù)量的研究起源于數(shù)，一開(kāi)始為熟悉的自然數(shù)、整數(shù)、自然數(shù)及整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算。2）結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)物件都有著內(nèi)含的結(jié)構(gòu)。3）空間?？臻g的研究源自于幾何。4）變化。了解和描述變化，在自然科學(xué)里是一普遍的議題，而微積分更是研究變化的有利工具。

離散數(shù)學(xué)：

離散數(shù)學(xué)是指對(duì)理論計(jì)算機(jī)科學(xué)最有用處的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的總稱(chēng)，包含可計(jì)算理論、計(jì)算復(fù)雜性理論及信息論。可計(jì)算理論檢驗(yàn)電腦的不同理論模型的極限，包含現(xiàn)知最有力的模型－圖靈機(jī)。復(fù)雜性理論研究可以由電腦做為較易處理的程度。信息論專(zhuān)注在可以?xún)?chǔ)存在特定媒介內(nèi)的數(shù)據(jù)總量，因此有壓縮及熵等概念。

應(yīng)用數(shù)學(xué)：

應(yīng)用數(shù)學(xué)思考將抽象的數(shù)學(xué)工具運(yùn)用在解答科學(xué)、工商業(yè)及其他領(lǐng)域上的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。應(yīng)用數(shù)學(xué)中的重要領(lǐng)域?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué)，利用概率論對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行描述、分析與預(yù)測(cè)。大部分的實(shí)驗(yàn)、調(diào)查及觀察研究需要統(tǒng)計(jì)對(duì)其數(shù)據(jù)的分析。

大學(xué)典型課程：

Combinatorics 組合數(shù)學(xué)

Differential equations 微分方程

Discrete mathematics 離散數(shù)學(xué)

Elementary statistics 統(tǒng)計(jì)學(xué)原理

Linear algebra 線性代數(shù)

Moeling 數(shù)學(xué)建模

Moern algebra 近世代數(shù)/抽象代數(shù)

Moern geometry 近世幾何

Multi-variable calculus 多變量微積分

Number theory 數(shù)論

Real analysis 實(shí)數(shù)分析

Single-variable calculus 單變量微積分

Topology 拓?fù)鋵W(xué)

【微語(yǔ)】你踏上異國(guó)的土地,追逐夢(mèng)想的翅膀,愿風(fēng)總是順著你的方向,讓每一步都充滿(mǎn)力量。