CAIE考試局的A Level高數(shù)分為了四張卷子，分別為高數(shù)純數(shù)1（FP1）、高數(shù)力學(xué)（FM）、高數(shù)統(tǒng)計(jì)（FS）和高數(shù)純數(shù)2（FP2），難度逐漸攀升，而高數(shù)純數(shù)2毫無疑問是這四張卷子里最難的。

如果說同為純數(shù)卷的高數(shù)純數(shù)1的重點(diǎn)還在于和A Level數(shù)學(xué)的內(nèi)容銜接上的話，那么高數(shù)純數(shù)2的難度系數(shù)就要“更上一層樓”了。如果你對(duì)純數(shù)的印象僅僅局限于微積分，那么你就“too young,too naive”了，因?yàn)镕P2顯然引入了更多較為陌生、也是更為進(jìn)階的概念。

舉個(gè)直觀點(diǎn)的例子，F(xiàn)P2在積分（integration）這一章引入了全新的歸約公式（reduction formula）的概念，而在微分（differentiation）這一章里更是引入了新奇的麥克勞林級(jí)數(shù)（Maclaurin Series）的內(nèi)容。

看到這里，你是不是有些焦慮如何學(xué)好FP2了呢？別急，下面的內(nèi)容或許對(duì)你有所幫助。

如何自學(xué)高數(shù)純數(shù)2

FP2這張卷子一共包含了六個(gè)章節(jié)，讓我們來逐個(gè)擊破～

Chapter 1

第一章雙曲線函數(shù)（hyperbolic function）的內(nèi)容是首次與大家見面，但千萬別被這個(gè)“下馬威”給嚇到了，只要掌握技巧，雙曲線函數(shù)并沒有想象中那么難。

Chapter 2

來到了不少同學(xué)頭疼的矩陣（Matrix）這一章，其實(shí)矩陣這一章難就難在“信息量太大”了，而且概念又確實(shí)頗為抽象。

就比如diagonalisation的過程，那可真是太太太長了：假設(shè)有一個(gè)A矩陣，我們得先計(jì)算出一個(gè)P矩陣（由eigenvectors組成）和一個(gè)D矩陣（由eigenvalues組成），再計(jì)算出A矩陣和P矩陣的乘積，即AP（劃重點(diǎn)?。〔皇荘A。在矩陣相乘中，先后順序是非常重要的，也是決定對(duì)錯(cuò)的關(guān)鍵）；計(jì)算出P矩陣和D矩陣的乘積，即PD；最后，可得AP=PD。我們把一個(gè)可以寫成A=PDP-1這種形式的矩陣稱之為diagonalisable。

這也就意味著當(dāng)題目要求計(jì)算出A20的時(shí)候，你沒必要把A矩陣重復(fù)乘以20次了（那肯定考試結(jié)束還沒算出來）。由于A=PDP-1，那么A20=(PDP-1)20；又因?yàn)镻P-1=I（Identity matrix，是一個(gè)任何矩陣與之相乘都等于自己本身的矩陣），所以A20=PD20P-1。看似不可能計(jì)算出來的題目，就可以通過巧妙的diagonalisation解決了。

剛開始做矩陣相關(guān)題目時(shí)，感到困擾是正常的，不要因此急躁氣餒。而破局之法也很簡單——“無他，唯手熟爾”。

Chapter 3

第三章的章節(jié)名是微分（differentiation），相信大家都不陌生，畢竟是從A Level數(shù)學(xué)開始就耳熟能詳?shù)母拍睢?/p>

那么高數(shù)純數(shù)2的微分到底有何不同凡響之處呢？

首當(dāng)其沖便是對(duì)雙曲線函數(shù)的微分。就比如sinhx的微分是coshx，而coshx的微分是sinhx。

此外，翻看Formula Sheet也是有時(shí)間成本的，而考試時(shí)間非常寶貴。想想看若是你對(duì)公式掌握熟練，節(jié)省下的時(shí)間是頗為可觀的。悄咪咪提醒一句，每年都有因?yàn)樽鲱}太慢，所以不能做完整張卷子的考生，而他們往往得再花好幾個(gè)月的時(shí)間去準(zhǔn)備重考。浪費(fèi)時(shí)間金錢不說，對(duì)心理也是一個(gè)巨大的考驗(yàn)，實(shí)在是得不償失。

剩下有關(guān)麥克勞林級(jí)數(shù)的內(nèi)容就更是小case啦～看似是很復(fù)雜的全新概念，但其實(shí)只需要掌握多次微分的知識(shí)點(diǎn)，再依照公式往里代入就行，可以說是非常樸實(shí)無華且枯燥了。

Chapter 4

既然微分是和雙曲線函數(shù)有所關(guān)聯(lián)的，那么無獨(dú)有偶，F(xiàn)P2的積分（integration）部分自然也和它密不可分。

在解決積分部分的題目時(shí)，尤其需要注意觀察題目類型，由于題型有些相似，建議看準(zhǔn)題型再往上套公式，會(huì)順暢很多，也避免踩坑。

若是遇到歸約公式（reduction formula）也不打緊，只要把In的冪（power）分割正確就成功了一大半了。

Chapter 5

復(fù)數(shù)（complex number）這一章的核心概念在于de Moivre’s theorem，以及一些之前A Level數(shù)學(xué)P3卷里學(xué)到過的知識(shí)點(diǎn)的進(jìn)階內(nèi)容。

打個(gè)比方，之前我們就已經(jīng)知道z=rcosθ+irsinθ，這是modulus-argument form；但在FP2的考綱內(nèi)，我們還需要掌握zn=(rcosθ+irsinθ)n=rn(cosnθ+isin nθ)，這就是大名鼎鼎的de Moivre’s theorem，它的重要性簡直不言而喻?？梢赃@么說，這個(gè)theorem是你想要進(jìn)入complex number這一章的門檻，跨不過去就只能止步于門外了。

終于來到最后一章啦～

與之前的三張paper有所不同的是：作為FP2最后一章的微分方程（Differential Equation，之后簡稱DE）單論難度，其實(shí)并不能說是所有章節(jié)中的翹楚，但這不代表你可以輕敵。

微分方程分為兩種：

第一種是First order DE。一般來說有兩類方法可以解決，其一是分離變量法，其二是積分因子（integrating factor）。

第二種是Second order DE，情況相較于First order DE更為復(fù)雜，需要整理出particular integral（PI）和complementary function（CF），把二者相加才可以成功得出這個(gè)微分方程的general solution（GS）。

學(xué)習(xí)建議

如果你認(rèn)真看完了以上的內(nèi)容，就會(huì)發(fā)現(xiàn)第一章的雙曲線函數(shù)的意義非同凡響，絕不是打個(gè)醬油就走的那類知識(shí)點(diǎn)，它可是在之后的幾章都一直保持著“高出鏡率”的。

所以我建議大家在學(xué)第一章的時(shí)候一定要把基礎(chǔ)打好，可以采取結(jié)合圖像的方法去學(xué)習(xí)雙曲線函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容，再根據(jù)圖像去推導(dǎo)infinity和limit等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。圖像承載的信息非常豐富，掌握?qǐng)D像會(huì)讓之后的學(xué)習(xí)更順?biāo)煲恍?/p>

除此之外，如果你為了FP2的題目煩惱的話，也千萬不要自暴自棄。首先得承認(rèn)的一點(diǎn)是，高數(shù)純數(shù)2確實(shí)是四張卷子里難度系數(shù)最大的那一張paper，不要著急，多給自己一些時(shí)間。可以在刷真題時(shí)，總結(jié)錯(cuò)題經(jīng)驗(yàn)，并且盡量保證下一次不要犯同樣的錯(cuò)誤，至少要保證自己是在不斷進(jìn)步的，哪怕慢一些，也沒有關(guān)系。

希望大家能夠成功攻克這一高數(shù)最難關(guān)卡，離A*更進(jìn)一步～

【微語】留學(xué)之際，愿你帶著希望與夢(mèng)想揚(yáng)帆起航，歸來時(shí)，熠熠生輝。