復(fù)數(shù)是IB數(shù)學(xué)HL中一個(gè)非常重要的考點(diǎn)，也是連接數(shù)、向量和平面的一個(gè)非常重要的橋梁，后面承接著復(fù)分析。在如此廣袤的領(lǐng)域面前，如牛頓所言，“我們都只是在在海邊玩耍的小孩”，在這里我嘗試以IB數(shù)學(xué)的考綱為基準(zhǔn)，從歷史的角度出發(fā)，去拾取些許前人的“貝殼”，講述復(fù)數(shù)的概念和由來(lái)。

“Nine Zulu Queen Ruled China“，這樣一句話看似毫無(wú)意義，但是首字母可以幫助我們記住五個(gè)數(shù)集N、Z、Q、R、C（在數(shù)學(xué)中會(huì)用鏤空字母表示）。

這五個(gè)數(shù)集就像是層層嵌套的俄羅斯套娃，最里層是自然數(shù)N（natural number），是我們通常用來(lái)計(jì)數(shù)的數(shù)，但是自然數(shù)對(duì)減法是不封閉的（也就是說(shuō)兩個(gè)自然數(shù)相減我們不一定會(huì)得到另一個(gè)自然數(shù)，比如7減10）。

于是就有了零和負(fù)數(shù)，得到了我們的第二個(gè)“套娃”整數(shù)Z(來(lái)自德語(yǔ)“數(shù)”的單詞“Zahl”)，同樣的道理，整數(shù)在除法中不封閉。

為了得到除法中封閉的數(shù)系，我們得到了有理數(shù)Q(來(lái)自英語(yǔ)單詞“商”的單詞“quotient”)，有理數(shù)可以簡(jiǎn)單理解成是那些可以表示為兩個(gè)整數(shù)的商的數(shù)，也就是所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù)。

畢達(dá)哥拉斯一度認(rèn)為，“世界上只存在整數(shù)和分?jǐn)?shù)"。但是他的學(xué)生希帕索斯卻發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為”1“的正方形，它的對(duì)角線之長(zhǎng)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之商，無(wú)理數(shù)的概念就此誕生。我們就需要另外一個(gè)”套娃“把無(wú)理數(shù)和有理數(shù)都包含到一起，也就是實(shí)數(shù)系R（Real number）。

在有理數(shù)中，加減乘除都是封閉的，但是開方卻不是，實(shí)數(shù)解決了這個(gè)問(wèn)題，但是卻僅限于非負(fù)數(shù)，也就是說(shuō)負(fù)數(shù)是沒有平方根的。為了打破這個(gè)限制，就需要加入最后一個(gè)”套娃“，也就是復(fù)數(shù)系C（Complex number）。

要理解復(fù)數(shù)，先得理解虛數(shù)。我們把-1的平方根記作i，那么所有的負(fù)實(shí)數(shù)的平方根就構(gòu)成了所有的純虛數(shù)，比如。復(fù)數(shù)就是形如a+bi的數(shù)，它由兩個(gè)部分組成，純實(shí)數(shù)部分a和純虛數(shù)部分bi，我們把a(bǔ)叫做實(shí)部，b叫做虛部。

所以我們?cè)谧鲞\(yùn)算的時(shí)候，也需要實(shí)部和虛部分開考慮，運(yùn)算的過(guò)程更類似于一次二項(xiàng)式的加減乘除，只是需要注意。我們可以得到復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則如下：

在除法運(yùn)算中，需要借助共軛復(fù)數(shù)(complex conjugate)。我們把兩個(gè)虛部符號(hào)相反的復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)，如c+di和c-di。共軛復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)的運(yùn)算中十分重要，通過(guò)共軛復(fù)數(shù)我們可以把復(fù)數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)為實(shí)數(shù)。這是因?yàn)閮蓚€(gè)共軛復(fù)數(shù)做加法會(huì)得到一個(gè)純實(shí)數(shù)2c，做乘法(c+di)(c-di)也會(huì)得到一個(gè)純實(shí)數(shù)。

我們知道，所有的實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的表示。復(fù)數(shù)是個(gè)二元數(shù)，所以所有的復(fù)數(shù)都可以用平面上的點(diǎn)來(lái)表示。在下一篇中我會(huì)詳細(xì)介紹復(fù)平面和復(fù)數(shù)的另外兩種形式。

到此為止，我們就構(gòu)建出了”數(shù)“的整個(gè)大廈。但是復(fù)數(shù)并不是我們對(duì)”數(shù)“探究的終點(diǎn)，在這之后還有“超復(fù)數(shù)”——哈密頓在19世紀(jì)發(fā)明了四元數(shù)的概念，把數(shù)的概念從二維又拓展到了四維。

從整數(shù)到實(shí)數(shù)，再到復(fù)數(shù)、四元數(shù)，數(shù)的概念從具體生活中慢慢脫離出來(lái)，進(jìn)入抽象與思維的疆域。這無(wú)疑象征著人們對(duì)未知世界的開拓與向往，我想這也就是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義所在。

【微語(yǔ)】留學(xué)是一條漫長(zhǎng)的路，不要因小失大。在留學(xué)中，你可以感悟人生，體驗(yàn)文化，磨礪意志，陶冶情操，但千萬(wàn)不要迷失方向。