前段時(shí)間，Collage Board（美國(guó)大學(xué)理事會(huì)）針對(duì) Precalculus（AP微積分預(yù)備課程）發(fā)布了2023-2024年最新的考綱，G8和G9的學(xué)生可以提前學(xué)習(xí)并參加考試。

Precalculus（微積分預(yù)備課程）是一門為學(xué)生準(zhǔn)備微積分的課程，Calculus（微積分）是研究事物如何隨時(shí)間變化的，因此，Precalculus（微積分預(yù)備課程）的目標(biāo)是通過幫助學(xué)生將之前所學(xué)的代數(shù)和幾何知識(shí)聯(lián)系起來，使學(xué)生掌握更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念和技能。

下面我們針對(duì)最新考綱，做一個(gè)詳細(xì)剖析和解讀，希望能夠幫助到未來學(xué)習(xí)和選課的同學(xué)們。

Precalculus（微積分預(yù)備課程）主要包含4個(gè)單元的內(nèi)容，每個(gè)單元都是以某一種特定的函數(shù)形式為主線，學(xué)習(xí)各個(gè)函數(shù)的主要性質(zhì)以及數(shù)據(jù)模擬的形式，這些基礎(chǔ)函數(shù)內(nèi)容為后期進(jìn)入到Calculus（微積分）的學(xué)習(xí)有很大的幫助。

Unit1：Polynomial and rational functions

Unit 1 中以Polynomial and Rational Functions （多項(xiàng)式和有理方程）為研究對(duì)象，從我們最熟悉的Linear and Quadratic Functions （一次和二次函數(shù)）為例，求解函數(shù)零點(diǎn)，同時(shí)會(huì)引入到Complex（復(fù)數(shù)）的介紹和應(yīng)用。

比如：會(huì)學(xué)習(xí)到Real root and non-real root（實(shí)數(shù)根與非實(shí)數(shù)根）的表示方法，從而拓展數(shù)的領(lǐng)域和概念。

對(duì)于沒有零點(diǎn)的函數(shù)，則進(jìn)一步引出Limit（極限）的概念，比如：當(dāng)X趨近于某一個(gè)數(shù)時(shí)，函數(shù)值也會(huì)接近一個(gè)值，這就是極限的基本定義。

通常情況下，我們會(huì)利用圖像的平移變換，去找出其asymptotic line（ 漸近線），從而決定函數(shù)值最終所能趨緊的一個(gè)數(shù)值。

Unit 2：Exponentialand logarithmic functions

在這一章節(jié)中，重點(diǎn)學(xué)習(xí)的函數(shù)模型是Exponential and logarithmic functions（指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)），以及兩種函數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則等。

首先從Arithmetic and geometric sequences（等差和等比數(shù)列）引入，同時(shí)類比一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的模型，幫助學(xué)生理解兩種數(shù)列形式，從函數(shù)角度去學(xué)習(xí)兩種數(shù)列，為之后Series（級(jí)數(shù)）做好鋪墊。

在了解了Exponential functions（指數(shù)函數(shù)）的基礎(chǔ)上，結(jié)合第一章中的Linear and quadratic functions（一次函數(shù)和二次函數(shù)），現(xiàn)在需要利用這些函數(shù)模型去解決實(shí)際問題，那么第一步就是要選取合適的函數(shù)模型，根據(jù)已知信息和實(shí)際線索去決定何種模型是最合適的。

緊接著會(huì)介紹兩種函數(shù)類型：Composite functions and inverse functions （復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)），需要注意的是，復(fù)合函數(shù)不是兩個(gè)函數(shù)的乘積關(guān)系，且反函數(shù)與原函數(shù)的Domain and range（定義域和值域）是互換的關(guān)系。

學(xué)習(xí)了Composite functions and inverse functions（復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)）之后，從而進(jìn)一步理解Logarithm 是Exponential 的反函數(shù)這一關(guān)系和變化。

此外就是一些函數(shù)基本運(yùn)算的性質(zhì)和原則，需要同學(xué)們牢固掌握和熟練應(yīng)用，都是之后微積分內(nèi)容的基本功，同時(shí)還會(huì)學(xué)習(xí)如何利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換去解等式與不等式。

Unit 3：Trigonometric and polar functions

第三單元學(xué)習(xí)的則是Trigonometric functions （三角函數(shù)），這也是之后微積分經(jīng)常會(huì)應(yīng)用和考察的一種函數(shù)類型。

從最基礎(chǔ)的三角比值關(guān)系（Sine/ Cosine/Tangent），函數(shù)圖像（Graphs），周期性（Periodic）以及特殊值等系統(tǒng)性的學(xué)習(xí), 導(dǎo)致后反三角函數(shù)的介紹，還有其他三角函數(shù)關(guān)系的引入（Secant, Cosecant, Cotangent）

此外還拓展了相同三角函數(shù)不同角度的加減法公式。

這些基礎(chǔ)知識(shí)以及基本運(yùn)算法則，在后期學(xué)習(xí)微積分時(shí)，會(huì)經(jīng)常作為重點(diǎn)考察，尤其是解決一些實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，選取三角函數(shù)作為研究模型，計(jì)算過程中通常會(huì)出現(xiàn)比較復(fù)雜的步驟，需要學(xué)生在Precalculus的階段打好基礎(chǔ)。

Unit 4：Functions involving parameters, vectors, and matrices

在前面的學(xué)習(xí)內(nèi)容中介紹完了基本初等函數(shù)，最后一章會(huì)講到Parameters, vectors and matrices（參數(shù)，向量，矩陣）等拓展內(nèi)容，在微積分的實(shí)際應(yīng)用中，遇到比較難的問題，有時(shí)需要借助其他函數(shù)模型去模擬。

首先Parametric functions（參數(shù)方程）通常是指除了X和Y之外，借助新的變量t去構(gòu)造的函數(shù)形式，因?yàn)樽兞縓和Y之間沒有關(guān)系，只能通過新的變量t使得我們要研究的能夠建立起一種函數(shù)模型，從而解決實(shí)際問題。

除了參數(shù)方程之外，我們還有一個(gè)好用的數(shù)學(xué)工具就是Vectors（向量），作為一個(gè)有direction and magnitude（方向和大?。┑氖噶?，可以很好的結(jié)合代數(shù)和幾何去解決問題，同時(shí)也能講代數(shù)問題幾何化，或者反之亦然。

Matrices （矩陣）作為L(zhǎng)inear algebra（線性代數(shù)）的核心和基礎(chǔ)，既兼顧了代數(shù)方程的特點(diǎn)，又遵循和體現(xiàn)了Vectors（向量）的運(yùn)算法則，對(duì)于解決相對(duì)應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，也是一個(gè)高效的數(shù)學(xué)工具。

【微語】留學(xué)之際，愿你帶著希望與夢(mèng)想揚(yáng)帆起航，歸來時(shí)，熠熠生輝。