微分方程指含有未知函數及其導數的關系式。解微分方程就是尋找出它的未知函數。微分方程是伴隨著微積分學一起發(fā)展起來的。微積分學的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過與微分方程有關的問題。微分方程的應用十分廣泛，可以解決許多與導數有關的問題。物理中許多涉及變力的運動學、動力學問題，如空氣的阻力為速度函數的落體運動等問題，很多可以用微分方程求解。還有一些微分方程在化學、工程學、經濟學和人口統計等領域都有應用。數學領域對微分方程的研究著重在幾個不同的面向，但大多數都是關心微分方程的解。只有少數簡單的微分方程可以求得解析解。不過即使沒有找到其解析解，仍然可以確認其解的部分性質。在無法求得解析解時，可以利用數值分析的方式，利用電腦來找到其數值解。動力系統理論強調對于微分方程系統的量化分析，而許多數值方法可以計算微分方程的數值解，且有一定的準確度。微分方程可分為以下幾類，而隨著微分方程種類的不同，其相關研究的方式也會隨之不同。

偏微分方程常微分方程(ODE)是指微分方程的自變量只有一個的方程。最簡單的常微分方程，未知數是一個實數或是復數的函數，但未知數也可能是一個向量函數或是矩陣函數，后者可對應一個由常微分方程組成的系統。

偏微分方程(pDE)是指微分方程的自變量有兩個或以上，且方程式中有未知數對自變量的偏微分。偏微分方程的階數定義類似常微分方程，但更細分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的偏微分方程，尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。有些偏微分方程在整個自變量的值域中無法歸類在上述任何一種型式中，這種偏微分方程則稱為混合型。

約束條件微分方程的約束條件是指其解需符合的條件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的約束條件。常微分方程常見的約束條件是函數在特定點的值，若是高階的微分方程，會加上其各階導數的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。若是二階的常微分方程，也可能會指定函數在二個特定點的值，此時的問題即為邊界值問題。若邊界條件指定二點數值，稱為狄利克雷邊界條件(第一類邊值條件)，此外也有指定二個特定點上導數的邊界條件，稱為諾伊曼邊界條件(第二類邊值條件)等。偏微分方程常見的問題以邊界值問題為主，不過邊界條件則是指定一特定超曲面的值或導數需符定特定條件。

唯一性存在性是指給定一微分方程及約束條件，判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下，是否只存在一個解。針對常微分方程的初值問題，皮亞諾存在性定理可判別解的存在性，柯西-利普希茨定理則可以判別解的存在性及唯一性。針對偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判別解的存在性及唯一性。皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問題的解是否存在。

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