微分方程指含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。解微分方程就是尋找出它的未知函數(shù)。微分方程是伴隨著微積分學(xué)一起發(fā)展起來的。微積分學(xué)的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過與微分方程有關(guān)的問題。微分方程的應(yīng)用十分廣泛，可以解決許多與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題。物理中許多涉及變力的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)問題，如空氣的阻力為速度函數(shù)的落體運(yùn)動等問題，很多可以用微分方程求解。還有一些微分方程在化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和人口統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域都有應(yīng)用。數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ξ⒎址匠痰难芯恐卦趲讉€不同的面向，但大多數(shù)都是關(guān)心微分方程的解。只有少數(shù)簡單的微分方程可以求得解析解。不過即使沒有找到其解析解，仍然可以確認(rèn)其解的部分性質(zhì)。在無法求得解析解時，可以利用數(shù)值分析的方式，利用電腦來找到其數(shù)值解。動力系統(tǒng)理論強(qiáng)調(diào)對于微分方程系統(tǒng)的量化分析，而許多數(shù)值方法可以計(jì)算微分方程的數(shù)值解，且有一定的準(zhǔn)確度。微分方程可分為以下幾類，而隨著微分方程種類的不同，其相關(guān)研究的方式也會隨之不同。

偏微分方程常微分方程(ODE)是指微分方程的自變量只有一個的方程。最簡單的常微分方程，未知數(shù)是一個實(shí)數(shù)或是復(fù)數(shù)的函數(shù)，但未知數(shù)也可能是一個向量函數(shù)或是矩陣函數(shù)，后者可對應(yīng)一個由常微分方程組成的系統(tǒng)。

偏微分方程(pDE)是指微分方程的自變量有兩個或以上，且方程式中有未知數(shù)對自變量的偏微分。偏微分方程的階數(shù)定義類似常微分方程，但更細(xì)分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的偏微分方程，尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。有些偏微分方程在整個自變量的值域中無法歸類在上述任何一種型式中，這種偏微分方程則稱為混合型。

約束條件微分方程的約束條件是指其解需符合的條件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的約束條件。常微分方程常見的約束條件是函數(shù)在特定點(diǎn)的值，若是高階的微分方程，會加上其各階導(dǎo)數(shù)的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。若是二階的常微分方程，也可能會指定函數(shù)在二個特定點(diǎn)的值，此時的問題即為邊界值問題。若邊界條件指定二點(diǎn)數(shù)值，稱為狄利克雷邊界條件(第一類邊值條件)，此外也有指定二個特定點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)的邊界條件，稱為諾伊曼邊界條件(第二類邊值條件)等。偏微分方程常見的問題以邊界值問題為主，不過邊界條件則是指定一特定超曲面的值或?qū)?shù)需符定特定條件。

唯一性存在性是指給定一微分方程及約束條件，判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下，是否只存在一個解。針對常微分方程的初值問題，皮亞諾存在性定理可判別解的存在性，柯西-利普希茨定理則可以判別解的存在性及唯一性。針對偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判別解的存在性及唯一性。皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問題的解是否存在。

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