很多初學(xué)高等代數(shù)的同學(xué)可能對代數(shù)不是很理解。高等數(shù)學(xué)因為廣泛的使用，又發(fā)展成包括許多獨立分支的一個大的數(shù)學(xué)科目，比如：多項式代數(shù)、線性代數(shù)等。代數(shù)學(xué)研究的對象，也已不僅是數(shù)，還有矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進行運算。雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運算定律，有時不再保持有效。因此代數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以概括為研究帶有運算的一些集合，在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合叫做代數(shù)系統(tǒng)。比如群、環(huán)、域等。

多項式代數(shù)所研究的內(nèi)容，包括整除性理論、最大公因式、重因式等。這些大體上和中學(xué)代數(shù)里的內(nèi)容相同。多項式的整除性質(zhì)對于解代數(shù)方程是很有用的。解代數(shù)方程無非就是求對應(yīng)多項式的零點，零點不存在的時候，所對應(yīng)的代數(shù)方程就沒有解。

代數(shù)學(xué)研究的對象，不僅是數(shù)，也可能是矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進行運算，雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運算定律，有時不再保持有效。在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合，叫做代數(shù)系統(tǒng)。比較重要的代數(shù)系統(tǒng)有群論、環(huán)論、域論。群論是研究數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象的對稱性規(guī)律的有力工具?，F(xiàn)在群的概念已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的，具有概括性的一個數(shù)學(xué)的概念，廣泛應(yīng)用于其他部門。

多項式是一類最常見、最簡單的函數(shù)，它的應(yīng)用非常廣泛。多項式理論是以代數(shù)方程的根的計算和分布作為中心問題的，也叫做方程論。研究多項式理論，主要在于探討代數(shù)方程的性質(zhì)，從而尋找簡易的解方程的方法。

我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。

行列式的概念最早是由十七世紀日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的，他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，標題的意思是“解行列式問題的方法”，書里對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。歐洲第一個提出行列式概念的是德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茨。

行列式有一定的計算規(guī)則，利用行列式可以把一個線性方程組的解表示成公式，因此行列式是解線性方程組的工具。行列式可以把一個線性方程組的解表示成公式，也就是說行列式代表著一個數(shù)。

因為行列式要求行數(shù)等于列數(shù)，排成的表總是正方形的，通過對它的研究又發(fā)現(xiàn)了矩陣的理論。矩陣也是由數(shù)排成行和列的數(shù)表，可以行數(shù)和烈數(shù)相等也可以不等。

矩陣和行列式是兩個完全不同的概念，行列式代表著一個數(shù)，而矩陣僅僅是一些數(shù)的有順序的擺法。利用矩陣這個工具，可以把線性方程組中的系數(shù)組成向量空間中的向量;這樣對于一個多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關(guān)系等等一系列理論上的問題，就都可以得到徹底的解決。矩陣的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，而且在力學(xué)、物理、科技等方面都十分廣泛的應(yīng)用。