2023年的AP微積分AB考試已于5月18日星期一舉行完畢，目前CB官網(wǎng)也已經(jīng)放出了AP微積分AB考試FRQ真題，今天留求藝留學(xué)老師為大家分享一下2023年AP微積分AB考試FRQ真題及答案講解，趕緊來(lái)看！

與往年相比，今年2022年北美卷的微積分AB，選擇題和FRQ大題都比較簡(jiǎn)單。考察知識(shí)點(diǎn)與考察形式都和往年類似，屬于非常容易能考出高分的卷子，估計(jì)5分成績(jī)線會(huì)在65-70左右。

從整體考點(diǎn)而言，與往年類似。常考知識(shí)點(diǎn)仍然集中在Unit5的一階導(dǎo)、二階導(dǎo)與原函數(shù)的關(guān)系、MVT中值定理與應(yīng)用、Unit 6的Fundamental theorem of calculus微積分基本定理，average value 和 average rate of change的區(qū)分等。這些在歷年的考察中都分?jǐn)?shù)占比頗多，屬于性價(jià)比較高的知識(shí)點(diǎn)，所以同學(xué)們一定要對(duì)此非常熟悉。

此外還考察了關(guān)于limit極限的部分知識(shí)，主要關(guān)于asymptotes漸近線，以及Differentiation的limit定義、Definite Integral的limit等，需要考生對(duì)于微積分的本質(zhì)等有足夠的理解。

Q1

非常經(jīng)典的表格題，本題考察了Riemann Sum黎曼和；MeanValue Theorem中值定理;Average value均值問(wèn)題相關(guān)的導(dǎo)數(shù)及積分應(yīng)用。與13年北美卷FRQ第四題，21年北美卷第四題考點(diǎn)基本一致。

題目中給出了從0s到150s期間，顧客往油箱里加油的rate為f(t)，以及6個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的加油速率。

(a)Right Riemann Sum右黎曼和，題目要求用Sight Riemann Sum估計(jì)60～135s期間加油總量，并解釋積分含義。

注意此處積分的上下屆，只計(jì)算三個(gè)區(qū)間即可。

(b)Mean Value Theorem中值定理，利用MVT證明60～120s期間一定存在一個(gè)時(shí)刻c加油速率為0。

60～120s的Average Rate of Change 平均變化速率為0，故根據(jù)MVT可以證明。

(c)Average value均值問(wèn)題，根據(jù)給定的加油速率函數(shù)g(t)計(jì)算0～150s的平均速率。

本題為average value均值問(wèn)題，而并非average rate of change。因?yàn)間(t)已經(jīng)是速率，所以容易造成知識(shí)點(diǎn)的混淆。本體要用對(duì)公式。

(d)Approximating derivatives，根據(jù)圖表信息估計(jì)140s時(shí)加油速率的導(dǎo)數(shù)g’(140)，并解釋導(dǎo)數(shù)含義。

往年常考題型，找到140s這個(gè)時(shí)間點(diǎn)出現(xiàn)的區(qū)間135～150s，根據(jù)區(qū)間的端點(diǎn)來(lái)估算g’(140).

Q2

這道題考察了Motion運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，該考點(diǎn)也是往年必考的內(nèi)容。題目給出了Stephen沿著一個(gè)50m的泳池在90s內(nèi)的游泳的velocity function。

(a)Change Direction題目要求算出Stephen變向的時(shí)間點(diǎn)。

速度有正有負(fù)，正代表向運(yùn)動(dòng)，負(fù)代表負(fù)向運(yùn)動(dòng)，v(t)由正到負(fù)或者由負(fù)到正即為變向的時(shí)間點(diǎn)。

(b)Speeding up/Slowing down題目要求算出60s時(shí)的加速度，并解釋此刻在加速還是減速。

速度的導(dǎo)數(shù)即為加速度。同樣加速度也有正負(fù)，加速度也有方向。如果加速度何速度方向相同(同號(hào))即為speeding up，加速度和速度方向相反(異號(hào))即為slowing down。

(c)Displacement題目要求算出20s和80s所處的位置之間的距離。

這是一個(gè)位移問(wèn)題，雖然出現(xiàn)了distance，但問(wèn)的是“distance between positions”，實(shí)為位移而非總路程，所以要用求位移(displacement)的公式～

(d)Total Distance題目要求算出0～90s之間的總路程。

總路程和位移要加以區(qū)分，為速度的絕對(duì)值的積分。

Q3

這道題是考察differential equation微分方程及相關(guān)應(yīng)用的題目。本題建立在一個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景下M(t)表示的是拿出冰箱的牛奶的溫度隨時(shí)間變化的方程。考點(diǎn)也比較基礎(chǔ)，沒(méi)有太多靈活的部分，都在我們課堂上講解和練習(xí)的范圍之內(nèi)。與22年北美卷第五題考點(diǎn)大致相同

(a)Sketch Solution of Differential Equation題目給出了slope field圖，并要求畫(huà)出過(guò)特定點(diǎn)的solution圖像。

根據(jù)slope field的趨勢(shì)畫(huà)出圖像即可。這種畫(huà)圖題現(xiàn)在基本每年都會(huì)考察，大家還是要在平時(shí)的練習(xí)中做好積累。

(b)Linear Approximation題目要求寫(xiě)出過(guò)(1,2)點(diǎn)的切線方程，并用它來(lái)估計(jì)函數(shù)值。

利用微分方程求出slope，再寫(xiě)出切線方程，之后代入t=2，就能估計(jì)出函數(shù)值。

(c)Linear Approximation & Second derivative題目要求求出二階導(dǎo)，問(wèn)b小問(wèn)中的估計(jì)是overestimate高估還是underestimate低估。

計(jì)算t=2時(shí)的二階導(dǎo)，若大于0說(shuō)明原函數(shù)concave up，那么linear approximation會(huì)underestimate低估；若小于0說(shuō)明原函數(shù)concave down，overestimate。

(d)Separable Differential Equation題目要求用separation of variables分離變量法來(lái)求出particular solution。

用分離、積分、算c、整理的步驟就能得到結(jié)果。這道題的難點(diǎn)在于積分比較難算，所以需要同學(xué)們有較好的積分運(yùn)算能力。

Q4

本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的圖像，推出原函數(shù)或者二階導(dǎo)的相關(guān)性質(zhì)。與22年北美卷第3題考點(diǎn)基本一致。

(a)Relative Maximum/Minimum題目問(wèn)x=6時(shí)，f是否有相對(duì)最大值或者最小值。

導(dǎo)數(shù)由正到負(fù)，說(shuō)明原函數(shù)又增到減，會(huì)出現(xiàn)relative maximum；導(dǎo)數(shù)由負(fù)到正說(shuō)明原函數(shù)又增到減，會(huì)出現(xiàn)relative minimum；如果沒(méi)有變號(hào)，說(shuō)明兩者都不是。

(b)Second Derivative題目問(wèn)在什么區(qū)間內(nèi)原函數(shù)concave down。

二階導(dǎo)小于0原函數(shù)concave down，同時(shí)一階導(dǎo)遞減。通過(guò)圖像可以觀察出一階導(dǎo)遞減的區(qū)間。

(c)Limit題目要求算一個(gè)極限是否存在。

x趨向于2時(shí)分母趨向于0，分子趨向于-6。

(d)題目要求算出f在[-2,8]的最小值。

那么先通過(guò)判斷f’的圖像知道哪里是f的極小值點(diǎn)，再算出端點(diǎn)值進(jìn)行比較，最小的值就是最小值。

Q5

本題依舊考察了Unit 3，Unit 5與Unit 6的聯(lián)合應(yīng)用，圍繞著一階導(dǎo)與二階導(dǎo)應(yīng)用、極值最值以及積分問(wèn)題等。根據(jù)表格中所給原函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)信息進(jìn)行計(jì)算。本題與北美卷14年第5題分場(chǎng)類似。

(a)Chain Rul題目要求算出h’(7)的值。

鏈?zhǔn)椒▌t，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外導(dǎo)乘以內(nèi)導(dǎo)。

(b)Product Rule & Chain Rule題目問(wèn)新定義的k(x)在x=4處concave up/ down。

首先我們利用product rule和chain rule可以算出k的二階導(dǎo)，帶入x=4，再通過(guò)二階導(dǎo)的正負(fù)判斷原函數(shù)concave up/down。

(c)Integral with variable Upper Limit題目給出了一個(gè)新函數(shù)m，計(jì)算m(2)。

利用變上限積分公式我們可以將m變成一個(gè)只含有x的式子，帶入x=2即可。

(d)Property of Derivative題目問(wèn)c問(wèn)中的m(x)在x=2處的增減性。

根據(jù)c問(wèn)中求出的m(x)表達(dá)式以及表格中的信息，計(jì)算m’(2), 導(dǎo)數(shù)大于零原函數(shù)increasing；導(dǎo)數(shù)小于零原函數(shù)decreasing。

Q6

本題主要圍繞著Implicit Differentiation隱函數(shù)求導(dǎo)，以及一階導(dǎo)數(shù)的圖像和性質(zhì)展開(kāi)考察。類似題型在21年北美卷第5題出現(xiàn)過(guò)。

(a)Implicit Differentiation題目要求寫(xiě)出隱函數(shù)求導(dǎo)的過(guò)程。

等式兩邊同時(shí)d/dx，即關(guān)于x求導(dǎo)，含有x的項(xiàng)正常求導(dǎo)即可；式子中出現(xiàn)了含有y的項(xiàng)，首先將y視為變量求導(dǎo)，再乘上一個(gè)dy/dx。

(b)Horizontal tangent line題目要求找出水平切線。

水平切線的斜率為0，因此尋找導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)即可。

(c)Vertical tangent line題目要求找出垂直切線。

垂直的切線導(dǎo)數(shù)不存，利用a問(wèn)中導(dǎo)數(shù)的方程尋找導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)的坐標(biāo)并驗(yàn)證是否為垂直切線。

(d)Related Rate題目問(wèn)在(1/2,-2)該點(diǎn)處dy/dt的值。

相關(guān)變化率問(wèn)題，dy/dt=(dy/dx)* (dx/dt)。

【微語(yǔ)】在遠(yuǎn)方的天空下, 你勇敢地追尋知識(shí), 每一份努力都會(huì)化作未來(lái)的星辰, 照亮你的前行之路。