2023年的AP微積分BC考試已于5月18日星期一舉行完畢，目前CB官網(wǎng)也已經(jīng)放出了AP微積分BC考試FRQ真題，今天留求藝留學(xué)老師為大家分享一下2023年AP微積分BC考試FRQ真題及答案講解，趕緊來看！

本次考試的FRQ部分整體比較簡單，難度系數(shù)和去年的題目差不多。如果和過去五年的北美FRQ作比較的話，今年考試的FRQ六道題目包含的考點(diǎn)都是在以往考試中頻繁出現(xiàn)的，沒有特別多的變化。如果考生在備考期間完整地做過過去五年的北美FRQ真題，這套試卷不會(huì)給學(xué)生帶來過多的挑戰(zhàn)。

第一題

本題主要考查積分導(dǎo)數(shù)綜合的文字應(yīng)用題，題目以表格的形式給出了一個(gè)函數(shù)f(t)，用來代表汽油流入油箱的速率(gallons per second)。

(a)題目要求我們先解釋一下在文中的實(shí)際含義，并利用right Riemann sum來近似這一積分的數(shù)值。首先根據(jù)f(t)的實(shí)際含義--汽油流入油箱的速率，我們可以知道對f(t)求積分得到的就是在60~135這一個(gè)時(shí)間段內(nèi)，加入汽油的總量。利用right Riemann sum近似積分?jǐn)?shù)值時(shí)，只需要根據(jù)題目中給出的表格數(shù)據(jù)，找到每個(gè)區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)值作為長方形的長，每個(gè)區(qū)間的寬度作為長方形的寬，計(jì)算長方形面積再求和即可。

(b)題目問在(60,120)這一區(qū)間上是否存在一個(gè)點(diǎn)c，滿足c的導(dǎo)數(shù)值等于0。根據(jù)這一小問的問法，我們可以判斷出考點(diǎn)為Mean Value Theorem，因?yàn)轭}目中有提到f(t)是一個(gè)differentiable function，所以我們可以直接利用Mean Value Theorem的公式通過計(jì)算得出會(huì)存在一個(gè)點(diǎn)c滿足該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值等于0的結(jié)論。

(c)題目中給出一個(gè)有具體表達(dá)式的函數(shù)g(t)用來代表汽油流入油箱的速率，問我們函數(shù)g(t)的平均值。我們可以直接利用average value的計(jì)算公式, 把題目中g(shù)(t)的表達(dá)式和時(shí)間范圍帶入即可。

(d)題目讓我們對g(t)求導(dǎo)，并解釋t=140的時(shí)候，g’(140)在上下文中的實(shí)際含義。解釋導(dǎo)數(shù)含義的時(shí)候可以從rate of change的角度描述，對g(t)求導(dǎo)，得到的就是g(t)的 rate of change。

第三題

本題主要考察微分方程，題目中給出一個(gè)微分方程表達(dá)式。

(a)題目要求我們在給出的斜率場圖象上畫出經(jīng)過點(diǎn)(0,5)的原函數(shù)曲線，只需要按照斜率場中的線段趨勢延伸即可。

(b)題目要求我們利用t=0時(shí)的切線方程來近似t=2時(shí)的函數(shù)值。首先，我們可以利用題目中給出的微分方程計(jì)算出t=0時(shí)的切線斜率，在利用題目中給出的t=0，M(0)=5寫出切線方程，之后把切線方程中的t換成2，計(jì)算y值即可。

(c)題目要求我們利用給出的微分方程求出原函數(shù)的二階導(dǎo)，再利用二階導(dǎo)數(shù)判斷b問的估值是低估還是高估。首先，對題目中給出的微分方程關(guān)于時(shí)間t再求一次導(dǎo)數(shù)可以得到M的二階導(dǎo)數(shù)，再把t=0帶入計(jì)算此時(shí)二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最后根據(jù)二階導(dǎo)的正負(fù)利用原函數(shù)的凹凸性來判斷切線估值是高估還是低估。

(d)題目要求我們利用分離變量法求出原函數(shù)的表達(dá)式，分離時(shí)先把（40-M）看做一個(gè)整體，放到等號(hào)左邊，然后把dt放在等號(hào)右邊。在完成分離這一步之后，等號(hào)左右兩邊同時(shí)求反導(dǎo)數(shù)，再帶入題目中給出的初始條件，解出C的數(shù)值，最后化簡結(jié)果即可得到原函數(shù)表達(dá)式。

第四題

本題主要考察積分導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的圖象問題，題目中給出了導(dǎo)數(shù)f’的圖象，以及f(2)=1。

(a)題目讓我們判斷f(x)在x=6的時(shí)候是否有relative max/min?？梢岳胒irst derivative test，根據(jù)f’的圖象可以看出當(dāng)x=6時(shí)，f’沒有正負(fù)變化，所以原函數(shù)在此處沒有relative max/min。

(b)題目讓我們判斷在哪個(gè)區(qū)間上f(x)是concave down。我們知道當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)遞減的時(shí)候，二階導(dǎo)數(shù)小于0，此時(shí)原函數(shù)是concave down。因此，直接在f’圖象上尋找f’的遞減區(qū)間即可。

(c)題目讓我們計(jì)算一個(gè)極限的數(shù)值，我們可以利用直接洛必達(dá)法則解決此問。

(d)題目讓我們找到函數(shù)f(x)在閉區(qū)間【-2,8】上的最小值。首先我們可以讓f’(x)等于0，找到函數(shù)f(x)的critical points，之后利用f’(x)的圖象，利用圖形面積并借助定積分求出f(x)在-2,8以及critical points處的函數(shù)值，最后比大小找到最小值即可。

第五題

本題考查積分應(yīng)用，涉及到函數(shù)曲線間面積，反常積分以及分部積分。題目中給出了兩個(gè)函數(shù)的圖象，其中一個(gè)函數(shù)g(x)的表達(dá)式以及另外一個(gè)函數(shù)f(x)的積分?jǐn)?shù)值。

(a)題目讓我們找到兩個(gè)函數(shù)曲線之間的陰影面積，可以直接利用上面的f(x)減去下面的g(x)然后再求積分，其中f(x)的積分值已經(jīng)在題目中給出，g(x)積分值可以通過直接對g(x)的表達(dá)式求積分得到。

(b)題目要求我們計(jì)算improper integral，計(jì)算時(shí)只需要用常規(guī)的積分計(jì)算技巧，但需要注意在寫FRQ中的反常積分問題時(shí)，需要把積分上限的無窮替換為字母，改寫成一個(gè)極限的形式。

(c)題目要求我們計(jì)算出xf’(x)從x=0，到x=3的定積分，因?yàn)楸环e分函數(shù)的表達(dá)式可以看做兩個(gè)函數(shù)相乘的形式，因此可以使用分部積分，可以設(shè)u=x然后帶入到分部積分的公式求解即可。

第六題

本題主要考查泰勒級(jí)數(shù)，主要涉及泰勒級(jí)數(shù)原始公式的使用以及拉格朗日誤差限。題目中給出了函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)值以及二階導(dǎo)數(shù)和三階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。

(a)題目要求我們找到四階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式并寫出函數(shù)f(x)的四階泰勒多項(xiàng)式。首先對三階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式直接求導(dǎo)可以得到四階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)時(shí)會(huì)用到product rule和chain rule，直接利用泰勒級(jí)數(shù)的公式：, 把c換成0并展開寫到這一項(xiàng)即可。

(b)題目要求我們計(jì)算出拉格朗日誤差限，可把已知條件直接代入到利用拉格朗日誤差限的計(jì)算公式，其中五階導(dǎo)數(shù)的最大值可以直接利用題目中給出的15，然后再化簡計(jì)算即可。

(c)題目給出了一個(gè)新的函數(shù)g(x), 已知g(0)的數(shù)值以及g’(x)的表達(dá)式，我們需要找到二階泰勒多項(xiàng)式。和a問的做法相同，首先對g’(x)求導(dǎo)得到g’’(x)的表達(dá)式，然后把上述條件再帶入到泰勒級(jí)數(shù)的公式中就可得到二階泰勒多項(xiàng)式。

【微語】你踏上異國的土地, 追逐夢想的光芒, 每一步都鋪滿了勇氣和希望。